Теорема Біркгофа (теорія відносності)

Теорема Біркгофа — теорема в загальній теорії відносності, яка стверджує, що будь-який сферично-симетричний розв'язок рівняння Ейнштейна має бути статичним і асимптотично плоским. Це означає, що зовнішній розв'язок (тобто простір-час за межами сферичного, необертового, гравітуючого тіла) має задаватись метрикою Шварцшильда. Теорема, обернена до теореми Біркгофа, також є вірною і називається теоремою Ізраеля^[1]^[2]. В ньютонівській гравітації обернена теонема невірна^[3]^[4].

Теорему було доведено в 1923 році Джорджем Девідом Біркгофом (автором іншої відомої теореми Біркгофа, поточкової ергодичної теореми, яка лежить в основі ергодичної теорії). Деякі дослідники вказують, що двома роками раніше теорему опублікував маловідомий норвезький фізик Йорг Тофте Єбсен^[en]^[5]^[6].

Інтуїтивне обґрунтування

Інтуїтивна ідея теореми Біркгофа полягає в тому, що сферично симетричне гравітаційне поле має створюватися деяким масивним об'єктом у початку координат. Якби була інша концентрація маси-енергії десь в іншому місці, це порушило б сферичну симетрію, тому ми можемо очікувати, що розв'язок представлятиме ізольований об'єкт. Тобто поле має зникати на великих відстанях, що ми частково маємо на увазі, кажучи, що розв'язок є асимптотично плоским.

Наслідки

Висновок про те, що зовнішнє поле також має бути стаціонарним, більш дивний і має цікавий наслідок. Припустимо, ми маємо сферично симетричну зорю фіксованої маси, яка виконує сферичні пульсації. Тоді теорема Біркгофа говорить, що зовнішня геометрія повинна бути геометрією Шварцшильда. Єдиним ефектом пульсації є зміна розташування поверхні зорі. Це означає, що сферично пульсуюча зоря не може випромінювати гравітаційні хвилі.

Узагальнення

Теорему Біркгофа можна узагальнити: будь-який сферично симетричний і асимптотично плоский розв'язок рівнянь поля Ейнштейна/Максвелла без $\Lambda$ , має бути статичним, тому зовнішня геометрія сферично-симетричної зарядженої зорі має бути задана метрикою Райснера–Нордстрема. Зверніть увагу, що в теорії Ейнштейна-Максвелла існують сферично симетричні, але не асимптотично плоскі розв'язки, такі як Всесвіт Бертотті-Робінсона.

Примітки

↑ Israel, Werner (25 грудня 1967). Event Horizons in Static Vacuum Space-Times. Physical Review. 164 (5): 1776—1779. Bibcode:1967PhRv..164.1776I. doi:10.1103/PhysRev.164.1776 — через American Physical Society.
↑ Straumann, Norbert (2013). General Relativity. Graduate Texts in Physics (вид. 2nd). Springer Graduate texts in Physics. с. 429. Bibcode:2013gere.book.....S. doi:10.1007/978-94-007-5410-2. ISBN 978-94-007-5409-6.
↑ Padmanabhan, Thanu (1996). Cosmology and Astrophysics through problems. Cambridge University Press. с. 8, 150. ISBN 0-521-46783-7.
↑ Padmanabhan, Thanu (2015). 5. Sleeping beauties in theoretical physics: 26 Surprising insights. Lecture Notes in Physics. Т. 895. Springer Lecture notes in Physics. с. 57—63. Bibcode:2015sbtp.book.....P. doi:10.1007/978-3-319-13443-7. ISBN 978-3-319-13442-0. ISSN 0075-8450.
↑ J.T. Jebsen, Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum, Arkiv för matematik, astronomi och fysik, 15 (18), 1 — 9 (1921).
↑ J.T. Jebsen, On the general symmetric solutions of Einstein's gravitational equations in vacuo, General Relativity and Cosmology 37 (12), 2253—2259 (2005).

Література

Deser, S & Franklin, J (2005). Schwarzschild and Birkhoff a la Weyl. American Journal of Physics. 73 (3): 261—264. arXiv:gr-qc/0408067. Bibcode:2005AmJPh..73..261D. doi:10.1119/1.1830505.
D'Inverno, Ray (1992). Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-859686-3. See section 14.6 for a proof of the Birkhoff theorem, and see section 18.1 for the generalized Birkhoff theorem.
Birkhoff, G. D. (1923). Relativity and Modern Physics. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. LCCN 23008297.
Jebsen, J. T. (1921). Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum (On the General Spherically Symmetric Solutions of Einstein's Gravitational Equations in Vacuo). Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. 15: 1—9.