Теорема Гюйгенса — Штейнера

Ілюстрація до теореми Гюйгенса-Штейнера.

Теоре́ма Гю́йгенса — Штейнера, або теорема Штейнера (названа іменами швейцарського математика Якова Штейнера і нідерландського математика, фізика і астронома Хрістіана Гюйгенса): момент інерції тіла $I_{z}$ відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла $I_{cm}$ відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається і добутку маси тіла $m$ на квадрат відстані $d$ між осями:

I_{z}=I_{cm}+md^{2}\

.

Момент інерції досягає свого мінімального значення, коли вісь проходить через центр мас.

Наприклад, момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його кінець, становить:

~J=J_{0}+md^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}

Перерахунок тензора моменту інерції

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускає узагальнення на тензор моменту інерції, що дозволяє отримати тензор $J_{ij}$ відносно довільної точки з тензора $I_{ij}$ відносно центру мас. Нехай d — зміщення від центру мас, тоді

~J_{ij}=I=I_{ij}+m{\begin{pmatrix}d_{2}^{2}+d_{3}^{2}&-d_{1}d_{2}&-d_{1}d_{3}\\-d_{1}d_{2}&d_{1}^{2}+d_{3}^{2}&-d_{2}d_{3}\\-d_{1}d_{3}&-d_{2}d_{3}&d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\end{pmatrix}}=I_{ij}+M({\boldsymbol {d}}^{2}\delta _{ij}-d_{i}d_{j})

де

{\boldsymbol {d}}=d_{1}{\boldsymbol {\hat {x}}}+d_{2}{\boldsymbol {\hat {y}}}+d_{3}{\boldsymbol {\hat {z}}}

— вектор зміщення від центру мас,

\delta _{ij}

— символ Кронекера.

Як видно, для діагональних елементів тензора (при i = j) формула набуде вигляду теореми Гюйгенса-Штейнера для перерахунку моменту інерції відносно паралельної осі.

Доведення

Будемо розглядати абсолютно тверде тіло, утворене сукупністю матеріальних точок.

Згідно визначення моменту інерції для $J_{c}$ та $J$ можна записати :

$Jc=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i})^{2}$ ,

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i}^{'})^{2}$ ,

де $r$ — радіус-вектор точки тіла в системі координат з початком, який знаходиться в центрі мас, а $r'$ — радіус-вектор точки нової системи координат, через початок якої проходить нова вісь.

Радіус-вектор можна розписати як суму двох векторів :

$r'_{i}=r_{i}+d$ ,

де $d$ — радіус-вектор відстаней між старою (яка проходить через центр масс) і новою віссю обертання. Тоді вираз для момента інерції набуде вигляду :

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}d+\sum _{i=1}^{n}m_{i}(d)^{2}$ .

Винісши d за суму, отримаємо :

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i})^{2}+2d\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}$ .

Згідно визначення центру мас, для його радіус-вектора виконується

$r_{c}={\sum _{i}m_{i}r_{i} \over \sum _{i}m_{i}}$ ,

Оскільки в системі координат з початком, який знаходиться в центрі масс, радіус-вектор дорівнює нулю, то буде виконуватися наступна рівність :

$\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}=0$ ,

Тоді :

$J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(r_{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{k}m_{i}$ ,

звідки і слідує шукана формула :

$J=J_{c}+md^{2}$ ,

де $J_{c}$ — відомий момент інерції відносно осі, яка проходить через центр мас тіла.

Якщо тіло складається не із матеріальних точок, а утворено неперервно розподіленою масою, то в усіх вище наведених формулах сумування змінюється на інтегрування. Доведення при цьому є ідентичним, лише за винятком того, що буде інтеграл, а не сума.

Наслідок: з отриманої формули очевидно, що $J>J_{c}$ . Тому можна стверджувати, що момент інерції тіла відносно осі, який проходить через центр мас тіла, є найменшим серед всіх моментів інерцій тіла відносно осей, які мають аналогічний напрям.

Див. також

Література

Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів.- К.: Техніка,2002.- 512 с. ISBN 966-575-184-0.
Цасюк В. В. Теоретична механіка: Навчальний посібник.- К.: ЦУЛ, 2004.- 402 с. ISBN 966-8253-79-5
Федорченко А. М. Теоретична механіка.- Київ: Вища школа, 1975. — 516 с.