Теорема Кантора — Гейне

Скористаємося доведенням від супротивного. Нехай ${\displaystyle f(x)}$ — функція, що відповідає умовам теореми (на компакті ${\displaystyle A}$), але не рівномірно неперервна на ньому. Тоді існує таке ${\displaystyle \varepsilon }$, що для всіх ${\displaystyle \delta >0}$ існують такі ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$, відстань між якими менше ${\displaystyle \delta }$, але відстань між їхніми образами не менше ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \exists \epsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{\delta },y_{\delta }\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,}$ але ${\displaystyle d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .}$

Візьмемо послідовність ${\displaystyle \{\delta _{k}\}}$, що сходяться до 0, наприклад, ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{k}}\right\}}$. Побудуємо послідовності ${\displaystyle x_{k}}$ і ${\displaystyle y_{k}}$ так, щоб

${\displaystyle d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k}}}$, тоді ${\displaystyle d(f(x_{k}),f(y_{k}))>\varepsilon }$

${\displaystyle A}$ — компакт, тому можна виділити збіжні послідовності:

${\displaystyle x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A,\quad y_{k_{j}}\to {\bar {y}}\in A.}$

Але так як відстань між ними прагне до нуля, по лемі про вкладені відрізки вони прагнуть до однієї точки: ${\displaystyle {\bar {x}}={\bar {y}}=\zeta }$. І, так як ${\displaystyle f}$ неперервна ${\displaystyle f(x_{k_{j}}\to \zeta ),\quad f(y_{k_{j}}\to \zeta )\Rightarrow d(f(x_{k_{j}}),f(y_{k_{j}}))\to 0}$, що суперечить припущенню, що ${\displaystyle d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon }$.