Теорема Левінсона

Теорема Левінсона — визначає умови того, що дві системи асимптотично еквівалентні.

Формулювання теореми

Нехай розв'язки системи

{\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (1)

де $A$ — стала $(n\times n)$ -матриця, обмежені на $[0,\infty )$ . Тоді система

{\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y,\quad (2)

де $B(t)\in C[0,\infty )$ та $\int _{0}^{\infty }\lVert B(t)\rVert \,dt<\infty ,\quad (3)$

асимптотично еквівалентна системі $\quad (1)$ .

Доведення

(Ідея викладеного нижче доведення належить Брауеру^[1])

Оскільки розв'язки системи $\quad (1)$ обмежені, то характеристичні корені $\lambda \ (A)$ матриці $A$ задовольняють рівність

Re\lambda \ (A)\leq \ 0,

причому характеристичні корені з нульовими дійсними частинами мають прості елементарні дільники.

Без обмеження загальності припустимо, що матриця $A$ має квазідіагональний вигляд

\quad A=diag(A_{1},A_{2}),\quad (4)

де $\quad A_{1}$ та $\quad A_{2}$ -- відповідно, $(p\times p)$ - та $(q\times q)$ -матриці $\quad (p+q)$ такі, що

Re\lambda \ (A_{1})<-\alpha <\ 0,

Re\lambda \ (A_{2})=0,\quad (5)

Дійсно, це можна отримати за допомогою простих перетворень $\xi \ =S{\boldsymbol {x}},$ та $\eta \ =S{\boldsymbol {y}},$ де $\quad S$ — стала $(n\times n)$ -матриця, причому взаємно однозначна відповідність між новими інтегральними кривими ${\boldsymbol {\xi }}(t)\Longleftrightarrow {\boldsymbol {\eta }}(t)$ індукує взаємно однозначну відповідність між старими інтегральними кривими ${\boldsymbol {x}}(t)=S^{-1}\xi (t)\Longleftrightarrow S^{-1}\eta (t)={\boldsymbol {y}}(t)$ .

Крім того, з граничного відношення ${\boldsymbol {\xi }}(t)-{\boldsymbol {\eta }}(t)\to 0,$ при $t\to \infty$ очевидно, випливає граничне відношення

{\boldsymbol {x}}(t)-{\boldsymbol {y}}(t)\to 0,

при

t\to \infty

.

$\quad 1)$ Нехай $\quad X(t)=diag(e^{tA_{1}},e^{tA_{2}})$ — фундаментальна матриця системи $\quad (1),$ нормована в нулі: $\quad X(t)=E,$ та $\quad I_{1}=diag(E_{p},0),$ та $\quad I_{2}=diag(0,E_{q}),$ де $\quad E_{q}$ та $\quad E_{p}$ — одиничні матриці відповідних порядків q та p, при тому, очевидно, $\quad I_{1}+I_{2}=E_{n}.$

Покладемо $\quad X(t)=X_{1}(t)+X_{2}(t),$ де $\quad X_{1}(t)=X(t)I_{1}\equiv diag(e^{tA_{1}},0),$ та $\quad X_{2}(t)=X(t)I_{2}\equiv diag(0,e^{tA_{2}})$ .

Звідси матрицю Коши $\quad K(t,\tau )\equiv X(t)X^{-1}(\tau )=X(t-\tau )$ можна представити у вигляді:

$\quad K(t,\tau )=X_{1}(t-\tau )+X_{2}(t-\tau ),$

причому за умови $\quad (5)$ маємо

$\lVert X_{1}(t)\rVert =\lVert e^{tA_{1}}\rVert \leq ae^{-\alpha t},$

при $0\leq t<\infty$ $\quad (6)$ та

$\lVert X_{2}(t)\rVert =\lVert e^{tA_{2}}\rVert \leq b,$

при $-\infty <t<\infty$ $\quad (7),$ де $\quad a,b$ - деякі додатні константи.

Використовуючи метод варіації довільних сталих, диференціальне рівняння $\quad (2)$ можна записати в інтегральній формі

$\quad y(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +$

+\int _{t_{0}}^{t}X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau ,

де

t\in [0,\infty )

довільне.

Оскільки матриця $\quad B(t)$ абсолютно інтегровна на $[0,\infty ),$ то всі розв'язки ${\boldsymbol {y}}(t)$ системи $\quad (2)$ обмежені на $[0,\infty ),$ і тому невласний інтеграл $\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau$ є збіжним.

Звідси, враховуючи, що $\quad X_{2}(t-\tau )=X(t-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X(t_{0}-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X_{2}(t_{0}-\tau ),$ наше інтегральне рівняння можна представити у вигляді

$\quad y(t)=X(t-t_{0})\left\lbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \right\rbrack +$

$+\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau -\int _{t}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau (8)$

Розв'язку $\quad {\boldsymbol {y}}(t)$ системи $\quad (2)$ з початковою умовою $\quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}$ співставимо розв'язок $\quad {\boldsymbol {x}}(t)$ системи $\quad (1)$ з початковою умовою

$\quad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau (9)$

Оскільки розв'язки $\quad {\boldsymbol {x}}(t)$ та $\quad {\boldsymbol {y}}(t)$ повністю визначаються своїми початковими умовами, то формула $\quad (9)$ встановлює однозначну відповідність між множиною всіх розв'язків $\lbrace {\boldsymbol {y}}(t)\rbrace$ системи $\quad (2)$ та множиною розв'язків $\lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace$ (або її частиною) системи $\quad (1)$ . Зауважимо, що відношення $\quad (9)$ неперервне відносно початкового значення $\quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}.$

$\quad 2)$ Покажемо, що відповідність між розв'язками $\quad {\boldsymbol {x}}(t)$ та $\quad {\boldsymbol {y}}(t),$ що визначається формулою $\quad (9),$ є взаємно однозначним та розповсюджується на всю множину розв'язків $\lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace$ .

Нехай $\quad Y(t)$ — фундаментальна матриця системи $\quad (1)$ така, що $\quad Y(t_{0})=E$ .Маємо

$Y(t)=X(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}X(t-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau .$

Але з нерівностей $\quad (6),(7)$ випливає $\lVert X(t-t_{0})\rVert \leq max(a,b)=c,$ при $t\geq t_{0}$ ;

тому

$\lVert Y(t)\rVert \geq c+\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \lVert Y(\tau )\rVert \,d\tau$

та в силу леми Гронуолла-Беллмана знаходимо

$\lVert Y(t)\rVert \geq c\,\exp(\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )\geq c\,\exp(c\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )=k,\quad$ при $t_{0}\geq t<\infty \qquad (10),$

причому константа $\quad k$ за оцінкою $\quad (10)$ не залежить від вибору початкового моменту $t_{0}(t_{0}\leq 0).$

Очевидно, маємо ${\boldsymbol {y}}(t)=Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0}).$ Тому з формули $\quad (9)$ отримуємо ${\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0}),\quad$ де $Z(t_{0})=\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau ,\quad$ причому на основі $\quad (7),(10)$ виводимо

$\lVert Z(t_{0})\rVert \geq \int _{t_{0}}^{\infty }\lVert X_{2}(t_{0}-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert Y(\tau )\rVert \,d\tau \geq bk\int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \quad (12).$

Оскільки матриця $\quad B(t)$ абсолютно інтегровна на $\quad [0,\infty )$ , то $\int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \to 0$ при $t_{0}\to \infty$ , отже, в силу $\quad (12)$ початковий момент $\quad t_{0}$ можна вибрати настільки великим, щоб мала місце нерівність $\det \lbrack E+Z(t_{0})\rbrack >0.(13)$

Надалі $\quad t_{0}\quad$ будемо вважати фіксованим та припускати наявність нерівності $\quad (13)$ . Звідси та з формули $\quad (11)$ виводимо

${\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack <sup>-1</sup>{\boldsymbol {x}}(t_{0}).\qquad (14)$

Оскільки формули $\quad (11)$ та $\quad (14)$ рівносильні, то для кожного розв'язку $\quad {\boldsymbol {x}}(t)$ системи $\quad (1)$ з початковою умовою ${\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x_{0}}}\quad$ знайдеться тільки один розв'язок ${\boldsymbol {y}}(t)\quad$ системи $\quad (2),$ що відповідає встановленому вище відношенню, а саме, це розв'язок, початкова умова ${\boldsymbol {y}}(t_{0})\quad$ якого визначається формулою $\quad (14).$

Відповідність між розв'язками ${\boldsymbol {x}}(t)$ та ${\boldsymbol {y}}(t)$ , що встановлюється формулами $\quad (11)$ та $\quad (14),\quad$ — взаємно однозначна, тобто кожному розв'язку ${\boldsymbol {y}}(t)$ відповідає один і тільки один розв'язок ${\boldsymbol {x}}(t)\quad$ , і навпаки.

Відмітимо, що тривіальному розв'язку ${\boldsymbol {y}}\equiv 0\quad$ відповідає тривіальний розв'язок ${\boldsymbol {x}}\equiv 0\quad$ та в силу лінійності співвідношень $\quad (11)$ та $\quad (14)$ різними розв'язками ${\boldsymbol {y_{1}}}(t)$ та ${\boldsymbol {y_{2}}}(t)\quad$ системи $\quad (2),$ відповідають різні розв'язки ${\boldsymbol {x_{1}}}(t)\quad$ та ${\boldsymbol {x_{2}}}(t)\quad$ системи $\quad (1),$ і навпаки.

$\quad 3)$ Для відповідних розв'язків ${\boldsymbol {x}}(t)\quad$ та ${\boldsymbol {y}}(t)\quad$ оцінимо норму їх різниці. Оскільки, це очевидно,

{\boldsymbol {x}}(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {x}}(t_{0}),\qquad

де

{\boldsymbol {x}}(t_{0})

визначається формулою

\quad (9)

, то з формули

\quad (8)

маємо

${\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)=\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau -\int _{t}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau .$

Звідси, враховуючи, що

$\lVert {\boldsymbol {y}}(t)\rVert =\lVert Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0})\lVert \leq \lVert Y(t)\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert \leq k\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert ,$ при $t\geq t_{0},$

на основі оцінок $\quad (6)$ та $\quad (7)$ отримуємо

\lVert {\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)\rVert \leq \int _{t_{0}}^{t}\lVert X_{1}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +\int _{t}^{\infty }\lVert X_{2}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \leq

$\leq ak\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\lVert \int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,bk\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert \int _{t}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau .(15)$

Враховуючи абсолютну інтегровність матриці $\quad B(t)$ при $t\geq 2t_{0}$ маємо $\int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =\int _{t_{0}}^{\frac {t}{2}}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \leq$

$\leq e^{-{\frac {\alpha t}{2}}}\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,<\varepsilon \,,$ якщо $\quad t>T.$

Отже, $\lim \limits _{t\to \infty }\int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =0.$ Таким чином, з нерівності $\quad (15)$ виводимо $\lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0,$ тобто системи $\quad (1)$ та $\quad (2)$ асимптотично еквівалентні. Доведено.