Теоре́ми Веєрштра́сса в Бана́хових про́сторах
Нехай
— метрика в метричному просторі
, тобто
:
1. для будь-яких
.
2.
.
3.
.
Означення 1. Функціонал
називається
— напівнеперервним знизу, якщо
.
Означення 2. Множина
з метричного простору
називається
— компактною, якщо з довільної послідовності точок
можна обрати підпослідовність збіжну до
.
Теорема 1. Якщо функція
є визначеною, скінченною,
— напівнеперервною знизу на
— компактній множині
, то
досягає на
свого мінімального значення.
Тобто існує
.
Нехай тепер
— банахів простір.
Означення 3. Послідовність
називається слабко збіжною до елемента
, якщо для будь-якого лінійного неперервного функціонала
.
Означення 4. Функціонал
називається слабконапівнеперервним знизу, якщо з того що
випливає, що
.
Означення 5. Множина
з банахового простору
називається слабкокомпактною, якщо з довільної послідовності точок
можна обрати підпослідовність, що слабко збігається до деякої
.
Теорема 2. Якщо функція
визначена, скінченна, слабконапівнеперервна знизу на слабкокомпактній множині
, то
досягає на
свого мінімального значення.
Див. також
Джерела