Тригонометрична тотожність Піфагора

Піфаго́рова (Пітаго́рова^[1]) тригонометри́чна тотожність стверджує, що для довільного кута ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$.

Цю тотожність називають також тригонометричною одиницею.

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$,

${\displaystyle \sin A={\frac {a}{c}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$,

${\displaystyle \cos A={\frac {b}{c}}={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$,

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin ^{2}A+\cos ^{2}A&=&\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\times {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)+\left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\times {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {b^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&1\end{matrix}}}$,
або

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin ^{2}A+\cos ^{2}A&=&\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}\\\ &=&\left({\frac {a}{c}}\times {\frac {a}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}\times {\frac {b}{c}}\right)\\\ &=&{\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{\left({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}}}\\\ &=&{\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\\ &=&1\end{matrix}}}$.

• Тригонометричні функції

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (березень 2014)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.