Фактор-простір

Ілюстрація фактор-простору, $S 2$ , отримана *склеюванням* границі (синім) круга $D 2$ в одну точку.

Фактор-простір^[1] — простір класів еквівалентності топологічного простору за заданим відношенням еквівалентності.

Визначення

Якщо на множині $S$ введено відношення еквівалентності ~, тоді множина всіх класів еквівалентності називається фактор--множиною і позначається $S/\!\sim$ . Розбиття множини на класи еквівалентних елементів називається факторизацією.

Фактор-простір векторного простору по підпростору

В лінійній алгебрі фактор-простір векторного простору V по підпростору N є векторний простір отриманий «стисненням» N в нуль. Отриманий простір позначається V/N.

Приклади

Факторизацію множини розумно застосовувати для отримання нормованих просторів із напівнормованих, просторів зі скалярним добутком із просторів з майже скалярним добутком тощо. Для цього вводиться відповідно норма класу, що рівна нормі довільного його елементу, і скалярний добуток класів як скалярний добуток довільних елементів класів. У свою чергу співвідношення еквівалентностей вводиться таким чином (наприклад для утворення нормованого фактор-простору): вводиться підмножина початкового напівнормованого простору, що складається з елементів з нульовою напівнормою (до речі, воно лінійне, тобто є підпростором) і вважається, що два елементи еквівалентні, якщо різниця їх належить цьому самому підпростору.

Якщо для факторизації лінійного простору вводитися деякий його підпростір і вважається, що якщо різниця двох елементів простору належить цьому підпростору, то ці елементи еквівалентні, то фактор-множина є лінійним простором і називається фактор-простором.