Формули Ньютона – Котса

У чисельному аналізі формули Ньютона — Котса, також відомі як правила квадратур Ньютона — Котса, — це група формул для чисельного інтегрування (також званого квадратурою), що ґрунтуються на обчисленні підінтегральної функції в рівновіддалених точках. Вони названі на честь Ісаака Ньютона та Роджера Котса.

Формули Ньютона — Котса можуть бути корисними, якщо значення підінтегральної функції задане в рівновіддалених точках. Якщо є можливість змінювати точки, в яких обчислюється підінтегральна функція, тоді більш придатними можуть бути інші методи, такі як квадратури Гауса або квадратура Кленшоу — Кертіса.

Вважається, що значення функції f, визначеної на інтервалі ${\displaystyle [a,b]}$, відоме в ${\displaystyle n+1}$ рівновіддалених точках: ${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b}$. Існують два класи квадратур Ньютона — Котса: вони називаються «замкнутими», коли ${\displaystyle x_{0}=a}$ і ${\displaystyle x_{n}=b}$, тобто використовуються значення функції на кінцях інтервалу, та «відкритими», коли ${\displaystyle x_{0}>a}$ і ${\displaystyle x_{n}<b}$, тобто значення функції на кінцях інтервалу не використовуються. Формули Ньютона — Котса, що використовують ${\displaystyle n+1}$ точку, можна визначити (для обох класів) як^[1] $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}$$ де

• для замкненої формули: ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$, де ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$,
• для відкритої формули: ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$, де ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$.

Величина h називається кроком, ${\displaystyle w_{i}}$ — це ваги. Ваги можна обчислити як інтеграл від базисних поліномів Лагранжа. Вони залежать лише від ${\displaystyle x_{i}}$ і не залежать від самої функції f. Нехай ${\displaystyle L(x)}$ — це інтерполяційний поліном у формі Лагранжа для заданих точок ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))}$, тоді $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}$$

Формулу Ньютона — Котса можна побудувати для будь-якого степеня n. Однак при великих значеннях n правило Ньютона — Котса іноді зазнає катастрофічного впливу феномена Рунге^[2], коли похибка зростає експоненційно при великих n. Методи, такі як гаусова квадратура та квадратура Кленшоу — Кертіса з нерівномірно розташованими точками (згущеними біля кінців інтегрального інтервалу), є стійкими та значно точнішими, і зазвичай надають перевагу саме їм замість формул Ньютона — Котса. Якщо ці методи не можна використати через те, що підінтегральна функція задана лише у фіксованих рівновіддалених точках сітки, феномену Рунге можна уникнути, використовуючи складене правило, як пояснено нижче.

Альтернативно, стійкі формули Ньютона — Котса можна побудувати, застосовуючи апроксимацію найменших квадратів замість інтерполяції. Це дозволяє створювати чисельно стійкі формули навіть для високих степенів.^[3][4]

У цій таблиці наведено деякі формули Ньютона — Котса замкненого типу. Для ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ нехай ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$, де ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$, і ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$.

Замкнені формули Ньютона — Котса

n	Крок h	Поширена назва	Формула	Похибка
1	${\displaystyle b-a}$	Метод трапецій	${\displaystyle {\frac {1}{2}}h(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle -{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )}$
2	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}}$	Метод Сімпсона	${\displaystyle {\frac {1}{3}}h(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$
3	${\displaystyle {\frac {b-a}{3}}}$	Метод 3/8 Сімпсона	${\displaystyle {\frac {3}{8}}h(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$	${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$
4	${\displaystyle {\frac {b-a}{4}}}$	Метод Буля	${\displaystyle {\frac {2}{45}}h(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$	${\displaystyle -{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )}$

Показник степеня кроку h у виразі похибки визначає швидкість зменшення похибки апроксимації. Порядок похідної функції f у виразі похибки вказує на найменший степінь полінома, який ця формула вже не може точно проінтегрувати (тобто, інтеграл уже не дорівнює точному значенню). Число ${\displaystyle \xi }$ повинно належати інтервалу (a,b), тому межа похибки дорівнює самому виразу похибки, коли ${\displaystyle f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b}$.

У цій таблиці наведено деякі формули Ньютона — Котса відкритого типу. Для ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ нехай ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$, де ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$, і ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$.

Відкриті формули Ньютона — Котса

n	Крок h	Поширена назва	Формула	Похибка
0	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}}$	Правило прямокутників, або правило середньої точки	${\displaystyle 2hf_{0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )}$
1	${\displaystyle {\frac {b-a}{3}}}$		${\displaystyle {\frac {3}{2}}h(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle {\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )}$
2	${\displaystyle {\frac {b-a}{4}}}$	Правило Мілна	${\displaystyle {\frac {4}{3}}h(2f_{0}-f_{1}+2f_{2})}$	${\displaystyle {\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$
3	${\displaystyle {\frac {b-a}{5}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{12}}h(11f_{0}+f_{1}+f_{2}+11f_{3})}$	${\displaystyle {\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$

Щоб правила Ньютона — Котса були точними, крок h має бути малим, що означає, що інтервал інтегрування ${\displaystyle [a,b]}$ має бути коротким — що найчастіше не є так. З цієї причини чисельне інтегрування зазвичай здійснюється шляхом поділу інтервалу ${\displaystyle [a,b]}$ на менші підінтервали, застосування правила Ньютона — Котса до кожного підінтервалу та підсумовування результатів. Це називається складене правило.

• Многочлен Лагранжа — інтерполяційний многочлен найменшого степеня для заданих точок.