Французька залізнична метрика

Французька залізнична метрика є незвичайним прикладом метрики.

Назва цієї метрики походить від дуже централізовано прокладеної (особливо раніше) залізничної мережі Франції, в якій майже всі шляхи сходилися у Парижі.

Внаслідок цього, наприклад, щоб дістатися залізницею зі Страсбурга до Ліона, треба було зробити гак в 400 км через Париж — доводилося миритися з тим, що немає прямого зв'язку.

Це спонукало одного невідомого математика визначити таку метрику: якщо ${\displaystyle X}$ є деякою множиною точок площини (міста Франції зі залізничним зв'язком через Париж) і ${\displaystyle p}$ — фіксована вибрана точка (Париж), то можна визначити на ${\displaystyle X}$ метрику ${\displaystyle \rho \colon X\times X\to \mathbb {R} }$ таким чином:

${\displaystyle \rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|x-y\|,\quad x-p=\lambda (y-p)\\\|x-p\|+\|y-p\|,\quad x-p\neq \lambda (y-p)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} }$

Тут ${\displaystyle \rho (x,y)}$ треба розуміти як відстань залізничним шляхом від міста ${\displaystyle x}$ до міста ${\displaystyle y}$.

Ця конструкція допускає елементарне узагальнення на будь-який нормований простір.

У невиродженому випадку, тобто коли існують неколінеарні вектори, французька залізнична метрика — найпростіший приклад метрики, яка не є породженою нормою.

Дійсно, припустимо протилежне. Нехай така норма існує. Візьмемо два неколінеарні вектори ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$, для яких ${\displaystyle \left|a\right|\leqslant \left|b\right|}$. Тоді вектори ${\displaystyle a+b}$ і ${\displaystyle b}$ також неколінеарні, і виконується ${\displaystyle \rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)}$.

Для метрики ${\displaystyle d}$, що породжена нормою, ця нерівність порушується:

${\displaystyle d(p+a,p)=|p+a-p|=|a|\leq d(p,p+b)=|p-p-b|=|{-b}|=|b|<d(p+a+b,p+b)=|p+a+b-p-b|=|a|}$

Отже, не існує норми ${\displaystyle \|\cdot \|}$, яка породжує французьку залізничну метрику в тому сенсі, що ${\displaystyle \rho (x,\,y)=\|x-y\|}$.

Для норми ${\displaystyle \|\cdot \|}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ метрикою французького метро називається метрика на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, що визначена як^[1][2].:

${\displaystyle \rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|x-y\|,\quad x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,\quad x\neq \lambda y\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} }$

Іншими словами, метрика французького метро визначена як довжина найкоротшого шляху з точки x до точки y, якщо x, y і початок координат знаходяться на одній прямій, і довжина найкоротшого шляху з x до y, що проходить через початок координат, у протилежному випадку.

Метрика французького метро збігається з французькою залізничною метрикою в окремому випадку, коли Париж знаходиться у початку координат (p = 0).

Для евклідової норми ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ метрика французького метро називається також паризькою метрикою, метрикою їжака, радикальною метрикою або посиленою метрикою SNCF^[1][2][3].

Для норми ${\displaystyle \|\cdot \|}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (в загальному випадку на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) метрикою британської залізниці називається метрика на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), визначена як

${\displaystyle \|x\|+\|y\|}$,

якщо ${\displaystyle x\neq y}$, і як 0 у протилежному випадку. Її називають також метрикою пошти (Post Office metric), метрикою гусениці і метрикою човника^[1][2].

Іншими словами, у відповідності до метрики британської залізниці доводиться робити гак через початок координат завжди, якщо пункт відправлення не збігається з пунктом призначення.

У Великій Британії метрику британської залізниці (British Rail metric(англ.)) іноді називають метрикою французького метро^[4].

p	x	y	ФЗМ[5]	МФМ[6]	МБЗ[7]
${\displaystyle (0;0)}$	${\displaystyle (0;3)}$	${\displaystyle (6;5)}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$
	${\displaystyle (0;3)}$	${\displaystyle (0;6)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\sqrt {45}}}$
${\displaystyle (-3;2)}$	${\displaystyle (0;3)}$	${\displaystyle (0;6)}$	${\displaystyle {\sqrt {10}}+5}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\sqrt {45}}}$
	${\displaystyle (0;3)}$	${\displaystyle (6;5)}$	${\displaystyle {\sqrt {40}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {61}}}$
	${\displaystyle (5;12)}$	${\displaystyle (12;5)}$	${\displaystyle {\sqrt {164}}+{\sqrt {234}}}$	${\displaystyle 26}$	${\displaystyle 26}$
	${\displaystyle (5;12)}$	${\displaystyle (5;12)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

• Мангеттенська метрика
• Відстань Чебишова