Числа Ейлера

Числа́ Е́йлера (англ. Euler numbers) — у математиці це послідовність цілих чисел ${\displaystyle E_{n}}$ (послідовність A000364 в OEIS), що визначається розкладом у ряд Тейлора для функції гіперболічного секанса:

${\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$

Числа Ейлера з непарними індексами дорівнюють нулю. Числа з парними індексами (послідовність A000364 в OEIS) мають знаки, що чергуються.

Вони тісно пов'язані зі значеннями многочленів Ейлера ${\displaystyle E_{n}(x)}$ у точці x=1/2:

${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}})}$

Числа Ейлера з'являються в розкладах функцій секанса та гіперболічного секанса. Окрім того, вони знаходять застосування в комбінаториці, зокрема під час підрахунку кількості чергуючих перестановок^[en] для множин із парною кількістю елементів.

Оскільки всі непарні нульові числа Ейлера дорівнюють нулю, основну увагу приділяють парноіндексованим числам (${\displaystyle E_{2n}}$), які іноді називають секансними числами (послідовність A000364 в OEIS).

Перші декілька ненульових значень:

${\displaystyle E_{n}}$	Значення
${\displaystyle E_{0}}$	1
${\displaystyle E_{2}}$	−1
${\displaystyle E_{4}}$	5
${\displaystyle E_{6}}$	−61
${\displaystyle E_{8}}$	1385
${\displaystyle E_{10}}$	−50521
${\displaystyle E_{12}}$	2702765
${\displaystyle E_{14}}$	−199360981
${\displaystyle E_{16}}$	19391512145
${\displaystyle E_{18}}$	−2404879675441

Деякі автори змінюють індексацію, щоб опустити нульові непарні члени, або змінюють знаки на додатні. Ця стаття дотримується наведеної вище конвенції.

Явна формула для обчислення чисел Ейлера, яка включає суму біноміальних коефіцієнтів та уявної одиниці^[1]:

${\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}}$

Модуль чисел Ейлера можна виразити через певні інтеграли, що демонструє їхній зв'язок з аналізом^[2]:

$${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n}2^{2n+1}\int _{0}^{\infty }t^{2n}\operatorname {sech} (\pi t)\,dt}$$

Числа Ейлера задовольняють рекурентні співвідношення, що дозволяють обчислювати їхнє значення, спираючись на попередні члени послідовності^[3]:

$${\displaystyle E_{2n}=-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{2k}}E_{2k}}$$ Або в еквівалентній формі: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2k}=0\quad {\text{для }}n\geq 1}$$

Примітка: ${\displaystyle E_{0}=1}$.

Числа Ейлера тісно пов'язані з числами Бернуллі (${\displaystyle B_{n}}$) і можуть бути виражені через них за допомогою наступної формули^[4]:

$${\displaystyle E_{n-1}={\frac {(4B+3)^{[n]}-(4B+1)^{[n]}}{2^{n}}}\quad [n\geq 1]}$$

Числа Ейлера мають глибоку комбінаторну інтерпретацію. Зокрема, ненульові числа Ейлера ${\displaystyle E_{2n}}$ (послідовність A000364 в OEIS) відповідають кількості чергуючих перестановок (також відомих як «вгору-вниз-вгору-вниз» перестановки) множини ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,2n\}}$.

Чергуюча перестановка — це перестановка ${\displaystyle \sigma =(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m})}$ така, що ${\displaystyle \sigma _{1}<\sigma _{2}>\sigma _{3}<\sigma _{4}>\ldots }$ або ${\displaystyle \sigma _{1}>\sigma _{2}<\sigma _{3}>\sigma _{4}<\ldots }$.

Подібним чином, зигзаг-числа ${\displaystyle A_{n}}$ (послідовність A000111 в OEIS), які тісно пов'язані з числами Ейлера, є кількістю таких чергуючих перестановок для множини ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ (без обмеження на парність індексу).

Як приприклад, для множини ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ існує ${\displaystyle E_{4}=5}$ чергуючих перестановок:

• ${\displaystyle (1,3,2,4)}$ (${\displaystyle 1<3>2<4}$)
• ${\displaystyle (1,4,2,3)}$ (${\displaystyle 1<4>2<3}$)
• ${\displaystyle (2,3,1,4)}$ (${\displaystyle 2<3>1<4}$)
• ${\displaystyle (2,4,1,3)}$ (${\displaystyle 2<4>1<3}$)
• ${\displaystyle (3,4,1,2)}$ (${\displaystyle 3<4>1<2}$)

Ненульові числа Ейлера ${\displaystyle E_{2k}}$ також можна подати у вигляді явних подвійних сум. У статті Чун-Фу Вея та Фена Ці «Several closed expressions for the Euler numbers» (2015) представлено декілька таких виразів^[5]:

• $${\displaystyle E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k}}$$

• $${\displaystyle E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(-1)^{i}{\frac {1}{2^{i}}}\sum _{\ell =0}^{2i}(-1)^{\ell }{\binom {2i}{\ell }}(i-\ell )^{2k}}$$

Функція секанса (${\displaystyle \sec(x)}$) має розклад у ряд Тейлора (який є рядом Маклорена), де коефіцієнтами виступають саме числа Ейлера^[6]:

$${\displaystyle \sec(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}$$

${\displaystyle E_{2n}}$ також можна обчислити через визначник^[7]:

$${\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n}(2n)!{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&0&\cdots &0\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&\ddots &\vdots \\{\frac {1}{6!}}&{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}}$$

У цій матриці Гессенберга для наочності додано нулі, що відображають її особливу структуру.

Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів. Їхня асимптотична формула, яка описує поведінку функції при великих значеннях аргументу, має вигляд^[8]:

$${\displaystyle |E_{2n}|\sim 8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}}$$

Розклад у ряд Тейлора для функції ${\displaystyle \sec(x)+\tan(x)}$ породжує зигзаг-числа (або чергуючі числа), що позначаються ${\displaystyle A_{n}}$^[9]:

$${\displaystyle \sec(x)+\tan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n}}$$

Ці числа (послідовність A000111 в OEIS) починаються з: 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, ...

Зигзаг-числа (${\displaystyle A_{n}}$) мають замкнену форму, що задається через числа Ейлера (${\displaystyle E_{n}}$) та числа Бернуллі (${\displaystyle B_{n}}$)^[10]:

$${\displaystyle A_{n}={\begin{cases}i^{n}E_{n}&{\text{для парних }}n;\\-{\frac {(2i)^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}}&{\text{для непарних }}n.\end{cases}}}$$

• Стала Ейлера — Маскероні
• Число Белла
• Числа Бернуллі

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), numbers Euler numbers, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Euler number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.