Числа Сабіта

Числа Сабіта — натуральні числа, які задаються формулою ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ для цілих невід'ємних ${\displaystyle n.}$

Перші числа Сабіта — це^[1][2]

${\displaystyle 2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;95\;,\;191\;,\;383\;,\;767\;,\;1535\;,\;3071\;,\;6143\;,\;12287\;,\;24575\;,\;49151\;,\;98303\;,\;196607\;,\;393215\;,\;786431\;,\;1572863\;,\;\ldots }$

(послідовність A055010 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

Послідовність названа на честь іракського математика дев'ятого століття Сабіта ібн Курра, що досліджував такі числа.^[3]

• Двійкове подання числа Сабіта ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ має довжину ${\displaystyle n+2.}$
• Деякі числа Сабіта є простими:

${\displaystyle 2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;191\;,\;383\;,\;6143\;,\;786431\;,\;51539607551\;,\;824633720831\;,\;\ldots }$

(послідовність A007505 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

• Станом на квітень 2008 року відомі такі значення ${\displaystyle n,}$ котрі дають прості числа:

${\displaystyle 0\;,\;1\;,\;2\;,\;3\;,\;4\;,\;6\;,\;7\;,\;11\;,\;18\;,\;34\;,\;38\;,\;43\;,\;47\;,\;55\;,\;64\;,\;76\;,}$

${\displaystyle 94\;,\;103\;,\;143\;,\;206\;,\;216\;,\;306\;,\;324\;,\;391\;,\;458\;,\;470\;,\;827\;,\;1274\;,\;3276\;,\;4204\;,\;5134\;,}$

${\displaystyle 7559\;,\;12676\;,\;14898\;,\;18123\;,\;18819\;,\;25690\;,\;26459\;,\;41628\;,\;51387\;,\;71783\;,\;80330\;,\;85687\;,\;88171\;,\;97063\;,}$

${\displaystyle 123630\;,155930\;,\;164987\;,\;234760\;,\;414840\;,\;584995\;,\;702038\;,\;727699\;,\;992700\;,\;1201046\;,\;1232255\;,\;2312734\;,\;3136255\;,\;\ldots }$

(послідовність A002235 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

• Прості числа Сабіта для ${\displaystyle n>164987}$ було знайдено в ході розподілених обчислень «321 search».^[4] Найбільше з відомих простих чисел Сабіта (${\displaystyle 3\cdot 2^{4235414}-1}$) має довжину 1274988 знаків і було знайдене Діланом Бенетом (Dylan Bennett) у квітні 2008 року. Попереднім рекордом було число ${\displaystyle 3\cdot 2^{3136255}-1}$, знайдене Полом Андервудом (Paul Underwood) у березні 2007 року.

Якщо і ${\displaystyle n,}$ і ${\displaystyle n-1}$ є числами Сабіта, і якщо  ${\displaystyle 9\cdot 2^{2n-1}-1}$ — просте, то пара дружніх чисел може бути знайдена як

${\displaystyle 2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)}$${\displaystyle 2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).}$

• Числа, які можна записати формулою ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$ називаються числами Сабіта другого роду.
• Перші числа Сабіта другого роду:

  ${\displaystyle 4,7,13,25,49,97,193,385,769,1537,3073,6145,12289,24577,49153,98305,196609,393217,786433,1572865,...}$

• Перші прості числа Сабіта другого роду (послідовність A039687 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

  ${\displaystyle 7,13,97,193,769,12289,786433,3221225473,206158430209,6597069766657,221360928884514619393,...}$

• Перші значення ${\displaystyle n}$, за яких ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}+1}$ прості:

  (послідовність A2253 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).${\displaystyle 1,2,5,6,8,12,18,30,36,41,66,189,201,209,276,353,408,438,534,2208,2816,3168,3189,3912,...}$

• Weisstein, Eric W. Протокол Діффі-Геллмана(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.