Олександр Багратович Шахназаров народився в сім'ї народного вчителя 7 (20) серпня1902(19020820) року. Закінчив Бакинське реальне училище.
У 1919—1929 роках працював у Баку — креслярем на машинобудівному заводі імені лейтенанта Шмідта, інструктором Центрального Правління Азербайджанського відділу Спілки гірників СРСР. Одночасно з 1924 по 1929 роки навчався на медичному факультеті Азербайджанського Державного Університету імені В. І. Леніна.
Після закінчення університету працював
1929—1937 — клінічний ординатор, асистент, доцент в Азербайджанському медичному інституті.
1979—1987 — консультант Обласного госпіталю для інвалідів ВВВ та обласної консультативної поліклініки.
Наукові ступені
1935 рік — кандидат медичних наук
1939 рік — доктор медичних наук. Дисертація на тему «Вплив йодистого хлористого калію і натрію на холестіріновий обмін у атеросклеротіков»
Внесок у науку
Опубліковано понад 140 праць, з низ 8 монографій.
Відповідальний редактор п'яти томів збірників праць КМІ (томи 36, 37, 45, 50, 52).
Співробітниками кафедри та практичними лікарями під керівництвом Олександра Багратовича Шахназарова захищені 3 докторські та 19 кандидатських дисертацій, опубліковано 328 робіт.
Численні виступи на Міжнародних (2 доповіді), Всесоюзних (7 доповідей) і Республіканських (УРСР — 3, БРСР — 2 доповіді) конгресах і з'їздах.
Олександр Багратович Шахназаров брав активну участь у громадській роботі. У тому числі був Головою Кримського наукового товариства терапевтів (з 1956 по 1992 рр..), Членом редакційної ради журналу «Лікарська справа» (з 1957 року).
Неодноразово запрошувався на високі посади в провідних ВНЗ та НДІ Москви та Києва, але завжди відмовлявся, не бажаючи залишати Крим.
Для безпомилкової діагностики будь-якого серцево-судинного захворювання професору, як правило, вистачало послухати пацієнта за допомогою фонендоскопу, попросити його кілька разів присісти і ще раз послухати. Згодом, технічні засоби завжди підтверджували правильність діагнозу.
За твердженнями багатьох студентів, на лекціях професора стояла така тиша, що можна було почути муху, що пролітає.
Ведучи здоровий спосіб життя, перед обідом випивав маленьку чарочку коньяк у. Коньяк радив заїдати не лимоном, а персиком.
Існує легенда, що під час вручення дипломів, викинув у вікно диплом сина секретаря обкому партії, оскільки вважав, що знання даного випускника не відповідають вимогам. За іншою (ймовірно, правдоподібнішою) версії професор викинув у вікно заліковку першого секретаря комсомольської організації інституту, яка дорівнювала райкому ВЛКСМ.
Існує легенда, згідно з якою професор рекомендував підтримувати себе в гарній фізичній формі в такий спосіб — розсипати коробок сірників, а потім знову його зібрати, схиляючись за кожною сірником окремо.