Хокейну кар'єру розпочав на батьківщині 2006 року виступами за команду «Фер'єстад».[1] Влітку 2008 року Генрік перейшов до клубу «Фрелунда».[2]
2011 року був обраний на драфті НХЛ під 210-м загальним номером командою «Ванкувер Канакс».[3] Незважаючи на обрання його на драфті клубом НХЛ, Теммернес уклав однорічну угоду з «Фрелундою».[4]
Після завершення сезону 2012–13 років Теммернес та «Ванкувер Канакс» домовилися про трирічний контракт початкового рівня.[5] ігрову кар'єру швед продовжив у фарм-клубі «Ютіка Кометс».[6]
11 січня 2015 року, Теммернес повернувся до Європи, підписавши контракт з фінським клубом «Таппара».[7]
31 травня 2017 року, швед поголився на дворічний контракт з клубом «Женева-Серветт».[8]