一致估计量

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在统计学中，一致估计量(Consistent Estimater)、渐进一致估计量，亦称相合估计量、相容估计量。其所表征的一致性或（相合性）同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加，估计误差在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的参数的真实值附近，使得估计量依概率收敛于${\displaystyle \theta _{0}}$。

这里定义的一致性称弱相合性。如果将概率收敛的方式改为以概率1收敛此时称强相合性。

设${\displaystyle g(\theta )}$为定义在参数空间${\displaystyle \Theta }$上的一维数值函数，用${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}=T(X^{(n)})}$去估计它。这里${\displaystyle X^{(n)}=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})}$为样本，${\displaystyle n}$为样本量。如果当${\displaystyle n\to \infty }$时，估计量${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}}$在某个意义${\displaystyle C}$之下收敛于被估计的${\displaystyle g(\theta )}$，则称${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}}$是${\displaystyle g(\theta )}$的一个意义${\displaystyle C}$之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况：

• ${\displaystyle C}$表示依概率收敛，即是${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}{\overset {}{\to }}g(\theta )}$，这时所定义的相合性称弱相合。

• ${\displaystyle C}$表示以概率1收敛，即是${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}{\overset {a.s.}{\to }}g(\theta )}$，这时所定义的相合性称强相合。

• ${\displaystyle C}$表示以${\displaystyle r}$阶矩收敛(${\displaystyle r>0}$)，即是${\displaystyle \mathrm {E} |{\widehat {T}}_{n}-g(\theta )|^{r}\to 0}$，这时所定义的相合性称${\displaystyle r}$阶矩相合，简称矩相合。

根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合，反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。

如果${\displaystyle g(\theta )=(g_{1}(\theta ),g_{2}(\theta ),\cdots ,g_{k}(\theta ))}$是多维的，${\displaystyle \forall i\in \{1,2,\cdots ,k\}}$，${\displaystyle {\widehat {T}}_{ni}}$为${\displaystyle g_{i}(\theta )}$在某意义下的相合估计，则称估计量${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}=({\widehat {T}}_{n1},{\widehat {T}}_{n2},\cdots ,{\widehat {T}}_{nk})}$在该意义下相合。

因此一般性讨论中可以只考虑${\displaystyle g(\theta )}$为1维的情况。

设参数空间${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}}$，${\displaystyle g(\theta )}$为定义在开集${\displaystyle {\widetilde {\Theta }}\subset \Theta }$上的实值连续函数。若${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}}$是${\displaystyle \theta }$的（强/弱）相合估计，则${\displaystyle g({\widehat {T}}_{n})}$是${\displaystyle g(\theta )}$的（强/弱）相合估计。

该定理不适用于矩相合。

由该定理和Kolmogorov强大数定律可推知矩估计为强相合估计。

设参数空间${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}}$，独立同分布样本${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$其总体分布函数是k维分布函数${\displaystyle F_{\theta }(x)}$。若${\displaystyle \forall \theta \in \Theta ,\varepsilon >0}$ 有

${\displaystyle \inf\{\sup _{x\in \mathbb {R} ^{k}}|F_{\theta }-F_{\varphi }|:\varphi \in \Theta ,\|\theta -\varphi \|>\varepsilon \}>0}$

则${\displaystyle \theta }$的强相合估计存在。

设参数空间${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}}$，独立同分布样本${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$其总体分布函数是k维分布函数${\displaystyle F_{\theta }(x)}$。若${\displaystyle \theta }$的相合估计存在，且${\displaystyle \theta \neq \varphi \in \Theta }$时，${\displaystyle F_{\theta }\neq F_{\varphi }}$。

至今没有得到回答。

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