三角不等式

如圖，取三角形${\displaystyle \Delta ABC}$。朝點${\displaystyle B}$ 方向延长${\displaystyle {\overline {AB}}}$至点D，并使${\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {BC}}}$，联结${\displaystyle {\overline {DC}}}$。

因為三角形 ${\displaystyle \Delta BDC}$ 为等腰三角形，根据第五公设可得${\displaystyle \angle BDC=\angle BCD}$。令：

${\displaystyle \alpha =\angle BDC=\angle BCD}$

${\displaystyle \beta =\angle ACD}$

顯然${\displaystyle \beta >\alpha }$。由于角${\displaystyle \beta }$对应边${\displaystyle {\overline {AD}}}$，角${\displaystyle \alpha }$对应边${\displaystyle {\overline {AC}}}$，根據命题19（大角对大边^[2]），因此${\displaystyle {\overline {AD}}>{\overline {AC}}}$。

又由于${\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {BC}}}$，所以：

${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}}$

同樣的，如果朝點${\displaystyle A}$方向延長${\displaystyle {\overline {AB}}}$，如法炮製的話，可以得到：

${\displaystyle {\overline {BA}}+{\overline {AC}}>{\overline {BC}}}$ (1)

朝點${\displaystyle C}$方向延長${\displaystyle {\overline {BC}}}$，如法炮製的話，可以得到：

${\displaystyle {\overline {BC}}+{\overline {CA}}>{\overline {BA}}={\overline {AB}}}$ (2)

(1)兩邊各減去${\displaystyle {\overline {AB}}}$有：

${\displaystyle {\overline {AC}}>{\overline {BC}}-{\overline {AB}}}$

(2)兩邊各減去${\displaystyle {\overline {BC}}}$有：

${\displaystyle {\overline {CA}}>{\overline {AB}}-{\overline {BC}}}$

也就是

${\displaystyle {\overline {AC}}>|{\overline {AB}}-{\overline {BC}}|}$

至此本定理得證。${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|}$

${\displaystyle |z_{1}|=|{\overline {z_{1}}}|}$

有：

${\displaystyle {\begin{aligned}|z_{1}+z_{2}|^{2}&=(z_{1}+z_{2})({\overline {z_{1}+z_{2}}})\\&=|z_{1}|^{2}+{\overline {z_{1}}}z_{2}+z_{1}{\overline {z_{2}}}+|z_{2}|^{2}\\&=|z_{1}|^{2}+2\operatorname {Re} {({\overline {z_{1}}}z_{2})}+|z_{2}|^{2}\\&\leq |z_{1}|^{2}+2|{\overline {z_{1}}}z_{2}|+|z_{2}|^{2}\\&=|z_{1}|^{2}+2|z_{1}||z_{2}|+|z_{2}|^{2}\\&={\left(|z_{1}|+|z_{2}|\right)}^{2}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}||z_{1}|-|z_{2}||^{2}&=|z_{1}|^{2}-2|z_{1}||z_{2}|+|z_{2}|^{2}\\&\leq |z_{1}|^{2}+2\operatorname {Re} {({\overline {z_{1}}}z_{2})}+|z_{2}|^{2}\\&=|z_{1}+z_{2}|^{2}\end{aligned}}}$

故複數三角不等式得證，實數只是複數的特例而以。${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}}$

那根據点积的性質有：

${\displaystyle {\left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}^{2}={\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|}^{2}+{\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}^{2}+2\left({\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}\right)}$

另一方面：

${\displaystyle {\left(\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\right)}^{2}={\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|}^{2}+{\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}^{2}+2\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$

考慮到：

${\displaystyle -\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\leq {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}\leq \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$

所以：

${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$

同樣的對 ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ 和 ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ 如法炮製就有：

${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {CB}}\right\|}$

${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {BA}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}$

換句話說：

${\displaystyle \left|\,\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|-\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\,\right|\leq \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}$

至此三角不等式成立。${\displaystyle \Box }$