不可克隆原理

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量子力学
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ 薛定谔方程
入门 术语（英语：Glossary of elementary quantum mechanics） 历史
背景 经典力学 舊量子論 狄拉克符号 哈密顿算符 干涉
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表述 概览 海森堡繪景 相互作用繪景 矩陣力學 相空间表述 薛丁格繪景 路徑積分表述
方程 狄拉克方程式 克莱因-戈尔登方程 包立方程式 里德伯公式 薛定谔方程
诠释 概览 量子贝叶斯主义（英语：Quantum Bayesianism） 一致性历史 哥本哈根詮釋 德布罗意-玻姆理论 系綜詮釋 隱變量理論 局部隐变量（英语：Local hidden-variable theory） 多世界诠释 客觀坍縮理論 量子逻辑（英语：Quantum logic） 關係性量子力學 交易詮釋
高阶 相对论量子力学 量子场论 量子信息科学 量子计算 量子混沌（英语：Quantum chaos） 密度矩陣 散射理论（英语：Scattering theory） 量子统计力学 量子機器學習
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查 论 编

不可克隆原理（No-cloning theorem）是量子物理的一个重要结论，即不可能构造一个能够完全复制任意量子比特，而不对原始量子位元产生干扰的系统。量子力学的线性特征是这个原理的根本原因。

不可克隆原理是量子信息学的基础。量子信息在信道中传输，不可能被第三方复制而窃取信息而不对量子信息产生干扰。因此这个原理也是量子密码学的基石。

为了证明不可克隆原理，我们首先假定，存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。

${\displaystyle |\phi \rangle }$ 和 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 是两个任意的量子状态，我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态${\displaystyle |k\rangle }$上。我们用一个幺正算符${\displaystyle U}$来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质：

${\displaystyle U(|\phi \rangle \otimes |k\rangle )=|\phi \rangle \otimes |\phi \rangle }$

${\displaystyle U(|\psi \rangle \otimes |k\rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle }$

内积${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle }$可得出以下两个等式：

${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle }$

${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle }$

这样便得到了：

${\displaystyle \langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle ,}$

${\displaystyle {\to }}$

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle k|k\rangle \,.}$

因为${\displaystyle \langle k|k\rangle =1}$，所以得出

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{2}=\langle \phi |\psi \rangle .}$

这个等式仅有的两个解是${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0}$ 和 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}$。这意味着，要么 ${\displaystyle \phi =\psi }$ （当 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}$），要么 ${\displaystyle \phi }$ 与 ${\displaystyle \psi }$ 正交（当 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0}$)。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆，不可克隆原理证明完毕。

无法从${\displaystyle |\psi \rangle }$造出${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }$。

设状态${\displaystyle |\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }$。 则${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle =a^{2}|00\rangle +ab|01\rangle +ab|10\rangle +b^{2}|11\rangle }$

把${\displaystyle |\psi \rangle }$与${\displaystyle |0\rangle }$ 作为输入：

${\displaystyle |\psi \rangle |0\rangle ={\bigg (}a|0\rangle +b|1\rangle {\bigg )}|0\rangle =a|00\rangle +b|10\rangle }$

经过受控反閘，输出:

${\displaystyle a|00\rangle +b|11\rangle }$

这与${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }$ 并不相等，状态没有被复制。

• W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Nature 299 (1982), pp. 802–803.
• D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
• V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.