不可約元素

不可約元素是抽象代數中的名詞，是指在整环中一個非零、非单位的元素，而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。

不可約元素和質元素不同，交换环${\displaystyle R}$內的非零、非单位元素${\displaystyle a}$為質元素，表示若在交換環${\displaystyle R}$內存在${\displaystyle b}$及${\displaystyle c}$，使得${\displaystyle a|bc}$，則${\displaystyle a|b}$或${\displaystyle a|c}$必定有一個成立。

在整环中，每一個質元素都是不可約元素^[1][2]，但一般而言，不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環（或範圍更廣的GCD環）中的不可約元素才一定是質元素。

再者，一個用質元素產生的理想為素理想，但由不可約元素產生的理想一般不會是不可約理想（英语：irreducible ideal）。不過，若${\displaystyle D}$為GCD環，且${\displaystyle x}$為${\displaystyle D}$環中的不可約元素，則產生的理想會是素理想^[3]。

在二次整數環（英语：quadratic integer ring）${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$中，可以用範數證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質元素，因為

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

但 ${\displaystyle 3}$ 無法整除 ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$，也無法整除 ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$。^[4]

• 不可約多項式

• Sharpe, David. Rings and factorization. Cambridge University Press. 1987. ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008. 

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