二次互反律的证明

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这个条目给出了二次互反律的证明。

对于两个奇素数${\displaystyle p,q}$，${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}}$。^[1]其中，${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)}$是勒让德符号。

设${\displaystyle p}$是一个奇素数并且${\displaystyle a\not \equiv 0\mod p}$。对于每个${\displaystyle k=1,2,...,{\frac {p-1}{2}}}$，这样定义${\displaystyle \epsilon _{k}}$和${\displaystyle r_{k}}$：

${\displaystyle ak\equiv \epsilon _{k}r_{k}\mod p}$，其中${\displaystyle 0<r_{k}<{\frac {p}{2}}}$，${\displaystyle \epsilon _{k}=\pm 1}$。通过分别考虑${\displaystyle \epsilon _{k}=1}$和${\displaystyle \epsilon _{k}=-1}$的情况，易证每个${\displaystyle r_{k}}$都两两不等。

现在考虑${\displaystyle \prod _{k=1}^{(p-1)/2}ak\equiv \prod _{k=1}^{(p-1)/2}\epsilon _{k}\prod _{k=1}^{(p-1)/2}r_{k}\mod p}$。因为每个${\displaystyle r_{k}}$都两两不等，所以${\displaystyle \{r_{1},r_{2},...,r_{\frac {p-1}{2}}\}}$就是${\displaystyle \{1,2,...,{\frac {p-1}{2}}\}}$的一个重排列。所以我们得到${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\prod _{k=1}^{(p-1)/2}k\equiv \prod _{k=1}^{(p-1)/2}\epsilon _{k}\prod _{k=1}^{(p-1)/2}k\mod p}$，因此${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \prod _{k=1}^{(p-1)/2}\epsilon _{k}\mod p}$。

现在考虑${\displaystyle \epsilon _{k}}$的正负情况。${\displaystyle ak\equiv \epsilon _{k}r_{k}\mod p}$等价于${\displaystyle ak=\epsilon _{k}r_{k}+bp,b\in \mathbb {Z} }$。若${\displaystyle \epsilon _{k}=1}$，则有${\displaystyle ak=r_{k}+bp}$。注意到${\displaystyle 0<r_{k}<{\frac {p}{2}}}$，将等式两边同时乘2得到${\displaystyle 2ak=R_{k}+B_{k}p}$，其中${\displaystyle R_{k}=2r_{k},0<R_{k}<p,B_{k}=2b}$，可以发现${\displaystyle B_{k}}$是偶数，而${\displaystyle \lfloor {\frac {2ak}{p}}\rfloor =\lfloor {\frac {R_{k}}{p}}+B_{k}\rfloor =B_{k}}$也是偶数。同理可证若${\displaystyle \epsilon _{k}=-1}$，${\displaystyle B_{k}=2b+1}$，而${\displaystyle \lfloor {\frac {2ak}{p}}\rfloor }$是奇数。据此，可以知道${\displaystyle \operatorname {sgn}(r_{k})=\lfloor {\frac {2ak}{p}}\rfloor }$，其中${\displaystyle \operatorname {sgn}(r_{k})}$是${\displaystyle r_{k}}$的符号，也就是${\displaystyle \epsilon _{k}=1}$还是${\displaystyle \epsilon _{k}=-1}$。

所以${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor 2ak/p\rfloor }\mod p}$。又由欧拉准则知${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\frac {p-1}{2}}\mod p}$，所以${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor 2ak/p\rfloor }}$。

如果${\displaystyle a}$是奇数，同时考虑勒让德符号的性质${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)=\left({\frac {ab}{p}}\right)}$，可知${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {2}{p}}\right)=\left({\frac {2a+2p}{p}}\right)=\left({\frac {4\left({\frac {a+p}{2}}\right)}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor {\frac {2\left({\frac {a+p}{2}}\right)k}{p}}\rfloor }=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor {\frac {ak}{p}}\rfloor }(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}k}=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor {\frac {ak}{p}}\rfloor }(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}}$，其中最后一步利用了等差数列的求和公式。

但是，当${\displaystyle a=1}$时，由上式可得${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=\left({\frac {1}{p}}\right)\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor {\frac {k}{p}}\rfloor }(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}}$，所以${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor {\frac {ak}{p}}\rfloor }}$。

现在令${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$为奇素数，可得${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor {\frac {qk}{p}}\rfloor }}$以及${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\sum _{l=1}^{(q-1)/2}\lfloor {\frac {pl}{q}}\rfloor }}$，

所以${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor {\frac {qk}{p}}\rfloor +{\sum _{l=1}^{(q-1)/2}\lfloor {\frac {pl}{q}}\rfloor }}}$。

现在考虑右边这幅图：设${\displaystyle A=\sum _{l=1}^{(q-1)/2}\lfloor {\frac {pl}{q}}\rfloor ,B=\sum _{k=1}^{(p-1)/2}\lfloor {\frac {qk}{p}}\rfloor }$，则${\displaystyle A}$代表了三角形A中的格点个数，${\displaystyle B}$代表了三角形B中的格点个数。它们加在一起等于整个${\displaystyle p\times q}$长方形的格点个数的四分之一。需要注意的是由于${\displaystyle p,q}$互素，所以对角线上不可能有格点。

由于整个长方形的格点个数是${\displaystyle (p-1)(q-1)}$，所以${\displaystyle A+B={\frac {(p-1)(q-1)}{4}}}$，即得${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}}$。

1. ^ 高斯二次互反律. [2019-12-08]. （原始内容存档于2019-12-08）.