准周期函数

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在數學上准周期函数（Quasiperiodic function）是指一個函數有類似週期函數的性質^[1]，但不滿足嚴格的周期函数。更準確的說法，一函數為${\displaystyle f}$為 准周期函数，且有准周期${\displaystyle \omega }$若${\displaystyle f(z+\omega )=g(z,f(z))}$

其中${\displaystyle g}$是一個比${\displaystyle f}$簡單的函數，注意此處的「簡單」是一個模糊的概念。

一個簡單的例子（有些稱為算術準週期）為其函數滿足下式；

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+C}$

另一個的例子（有些稱為幾何準週期）為其函數滿足下式；

${\displaystyle f(z+\omega )=Cf(z)}$

以下是Θ函數

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),}$

針對固定的τ，其准周期即為τ，此函數也有另一個週期1。另一個例子是魏尔施特拉斯Σ函數（英语：Weierstrass sigma function），有二個獨立的准周期，也就是對應魏爾斯特拉斯橢圓函數的週期。

符合以下泛函方程式的函數

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+az+b\ }$

也是準週期函數，例如針對定值η的魏尔施特拉斯Ζ函數（英语：Weierstrass zeta function）

${\displaystyle \zeta (z+\omega )=\zeta (z)+\eta \ }$

其中ω為對應魏爾斯特拉斯橢圓函數的週期。

若${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)\ }$，則f稱為週期函數，其週期為ω。.

在音響處理中的準週期信號（Quasiperiodic signals）不是上述定義的准周期函数，而是那些有概周期函數（almost periodic functions）特性的信號，因此無法用數學上的準週期性性質來處理這類的信號。

一個常見的例子為以下函數：

${\displaystyle f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)}$

若比值A/B為有理數，此函數有真正的週期，但若A/B是無理數，此函數沒有週期，但有漸漸越來越準確的「概周期」。

• 準週期性（英语：Quasiperiodicity）
• 準週期運動
• 概周期函數

• Quasiperiodic function at PlanetMath