单纯复形

单纯复形（英語：Simplicial complex）是拓扑学中的概念，指由点、线段、三角形等单纯形“粘合”而得的拓扑对象。单纯复形不应当与范畴同伦论中的单纯集合混淆。

定义

单纯复形 ${\mathcal {K}}$ 是由一组单纯形构成的集合，并且须要满足下列条件^[1]^:119：

${\mathcal {K}}$ 的每一个单纯形的面都是 ${\mathcal {K}}$ 中的元素。
${\mathcal {K}}$ 中任何两个元素 $\sigma _{1},\sigma _{2}\;\in {\mathcal {K}}$ 的交集是它们公有的一个面。

需要注意的是，约定空集是任何单纯形的面，所以两个不相交的单纯复形也可以被看作是一个单纯复形。通常的定义中，单纯复形是有限个单纯形的集合。但有些上下文中，也会在附加某些局部有限性条件的前提下，定义无限个单纯形依照类似的定义构成的单纯复形^[1]^:120。

如果某个单纯复形 ${\mathcal {K}}$ 中包含的最大维度的单纯形是 $k$ 维单纯形，则称 ${\mathcal {K}}$ 为 $k$ 维单纯复形^[1]^:120。例如2维单纯复形中必然含有三角形，且必然不含有四面体等更高维度的单纯形。

如果某个 $k$ 维单纯复形 ${\mathcal {K}}$ 中，任何维数小于 $k$ 的单纯形都只是某个 $k$ 维单纯形的一个面，则称 ${\mathcal {K}}$ 是纯 $k$ 维单纯复形或齐次 $k$ 维单纯复形。这个定义是指没有“混杂”多种单纯形的单纯复形。比如齐次2维单纯复形是指由“一连串”的三角形拼接成的单纯复形。齐次3维单纯复形则是由“一连串”的四面体拼接成的单纯复形。如果某个单纯复形由一个三角形、一个四面体和两个线段拼接而成，则不是齐次的单纯复形。