双三次插值

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在数值分析这个数学分支中，双三次插值（英語：Bicubic interpolation）是二维空间中最常用的插值方法。在这种方法中，函数 f 在点 (x, y) 的值可以通过矩形网格中最近的十六个采样点的加权平均得到，在这里需要使用两个多项式插值三次函数，每个方向使用一个。

通过双三次插值可以得到一个连续的插值函数，它的一阶偏导数连续，并且交叉导数处处连续。

双三次插值通过下式进行计算：

${\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}x^{i}y^{j}.}$

或者用展开的形式， ${\displaystyle a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{20}x^{2}+a_{11}xy+a_{02}y^{2}+a_{21}x^{2}y+a_{12}xy^{2}+a_{22}x^{2}y^{2}+a_{30}x^{3}+a_{03}y^{3}+a_{31}x^{3}y+a_{13}xy^{3}+a_{32}x^{3}y^{2}+a_{23}x^{2}y^{3}+a_{33}x^{3}y^{3}}$

计算系数 ${\displaystyle a_{ij}}$ 的过程依赖于插值数据的特性。如果已知插值函数的导数，常用的方法就是使用四个顶点的高度以及每个顶点的三个导数。一阶导数 ${\displaystyle h'x}$ 与 ${\displaystyle h'y}$ 表示 x 与 y 方向的表面斜率，二阶相互导数 ${\displaystyle h''xy}$ 表示同时在 x 与 y 方向的斜率。这些值可以通过分别连续对 x 与 y 向量取微分得到。对于网格单元的每个顶点，将局部坐标（0,0, 1,0, 0,1 和 1,1) 带入这些方程，再解这 16 个方程。

双三次插值算法经常用于图像或者影片的缩放，它能比占主导地位的双线性滤波算法保留更好的细节品质。

• 反鋸齒
• 立方埃尔米特样条，一维空间中的类似形式
• 双线性插值
• 样条插值
• 抗混叠
• Sinc滤波器
• Lanczos resampling

• Application of interpolation to elevation samples