双周期函数f(x,y)= sin(x)*cos(y) 的图像 双周期函数 是数学 中对一类定义在复平面 上的函数 （复变量函数）的称呼，是在复平面的两个不同“方向”上都有周期性变化的函数。直观上可以理解为平面上“网格状”变化的函数。双周期函数是定义域为实数的周期函数 在复变量函数中的推广。在复变量函数中，只有一个周期的函数称为单周期函数，如指数函数 ，周期是2πi
对一个定义域 为复数 域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
f 实数 域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
线性独立 （将复数域看作实数域上的2维向量空间 ）的复数u v z m , n
f
(
z
+
m
u
+
n
v
)
=
f
(
z
)
,
{\displaystyle f(z+mu+nv)=f(z),}
就称函数f [ 1] :323
复变量函数中有单周期函数和双周期函数。单周期函数可以看作是第二个周期为无穷大的双周期函数。而三周期或更多周期的函数是不存在的，因为复平面是实数域的二维向量空间，所以不可能有三个或更多个线性独立的向量（复数）。[ 2] :197
给定双周期函数f z f (z )
N
(
z
)
=
z
+
Z
u
+
Z
v
{\displaystyle N(z)=z+\mathbb {Z} u+\mathbb {Z} v}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
N (z )
只要将双周期函数在某个单元格中定义，就可以推出函数在其它“格子”里的值。 如果将双周期函数直观地作为二维平面上的一类实值函数来看待的话，很容易就能构造出双周期函数的例子。比如，如果将“1”和“i 整点 ”（横坐标和纵坐标都是整数的点）为节点的正方形网格。只需要定义函数在一个正方形单位上的取值，然后再“逐格复制”就可以了。例如函数：
f
:
x
+
y
i
↦
sin
(
2
π
x
)
cos
(
2
π
y
)
.
{\displaystyle f:\;\;x+yi\;\;\mapsto \;\;\sin {(2\pi x)}\cos {(2\pi y)}.}
从例子中可以看出，定义一个双周期函数，只需要定义它在一个单元格里的取值就可以了。如果u v f f [ 2] :197 ：
D
f
=
{
t
u
+
s
v
|
0
⩽
t
,
s
<
1
}
{\displaystyle D_{f}=\{tu+sv\;\;|\;\;0\leqslant t,s<1\}}
平行四边形 ）上的取值即可。
椭圆函数 是双周期函数中最常被研究的一类函数。椭圆函数定义为双周期的亚纯函数 （在离散的点以外都是全纯函数 的函数）。一个常见的例子是魏尔斯特拉斯椭圆函数 ：
℘
(
z
)
=
1
z
2
+
∑
m
2
+
n
2
≠
0
{
1
(
z
−
n
u
−
m
v
)
2
−
1
(
n
u
+
m
v
)
2
}
{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-nu-mv)^{2}}}-{\frac {1}{(nu+mv)^{2}}}\right\}}
[ 1] :324
设单元格D f B f B f
B
f
=
{
s
u
|
0
⩽
s
<
1
}
∪
{
u
+
s
v
|
0
⩽
s
⩽
1
}
∪
{
v
+
s
u
|
0
⩽
s
<
1
}
∪
{
s
v
|
0
<
s
<
1
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{f}=\{su\;|\;0\leqslant s<1\}\cup \{u+sv\;|\;0\leqslant s\leqslant 1\}\cup \{v+su\;|\;0\leqslant s<1\}\cup \{sv\;|\;0<s<1\}}
沿着双周期函数单元格的环路积分 由于双周期函数f B f f 环路积分 ，积分值会是0：
∮
B
f
f
(
z
)
d
z
=
0.
{\displaystyle \oint _{{\mathcal {B}}_{f}}f(z)\mathrm {d} z=0.}
如果f 全纯函数 ，那么可以证明，f f ≡ Cf 紧集 ），所以根据双周期性可知f 刘维尔定理 ，f [ 3] :73-74
如果f 留数定理 ，f 极点 的留数之和等于0，这说明f 1/f f [ 2] :199-200 更进一步地，可以证明f [ 3] :74-75 。
从拓扑 结构来说，任何双周期函数都等价于定义在环面
T
2
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}
[ 4] :101 。
^ 1.0 1.1 Nico M. Temme. Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics ISBN 9781118030813（英语） . ^ 2.0 2.1 2.2 Michael T. Vaughn. Introduction to Mathematical Physics ISBN 9783527618866（英语） . ^ 3.0 3.1 Gareth A. Jones. Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint ISBN 9780521313667（英语） . ^ Anatolij T. Fomenko, Aleksej A. Tužilin. Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-Dimensional Space ISBN 9780821898345（英语） .
