哈特格斯数

在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由弗里德里希·哈特格斯（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。

然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合 $X$ ，与之对应的哈特格斯数是不与 $X$ 的任何子集等势的最小序数 $\alpha$ 。如果 $X$ 并非良序的话，我们其实不能说 $\alpha$ 一定是势大于 $X$ 的最小良序集；但是，我们仍然可以确定 $\alpha$ 的势至少不小于——或者说大于等于—— $X$ 的势。从 $X$ 到 $\alpha$ 的映射，被称作哈特格斯函数（Hartogs's function）。

证明

由集合论的一些基本定理可以很容易证明哈特格斯数的存在：

令

$\alpha =\{\beta \in \mathbf {Ord} |\exists i:\beta \hookrightarrow X\}$

为所有满足“存在从该序数 $\beta$ 到集合 $X$ 的单射”的序数 $\beta$ 组成的类。

首先，我们来证明 $\alpha$ 是集合：

由幂集公理， $X\times X$ 是集合。
再由幂集公理， ${\mathcal {P}}(X\times X)$ 是集合。（列舉出任意二元關係）
由分离公理， $X$ 的所有自反良序子集组成的类 $W$ 是集合（因为它是从 ${\mathcal {P}}(X\times X)$ 中分离得到）。（從任意二元關係選出自反良序的二元關係）
由替换公理可知， $W$ 中良序集的序类型(已知每一个严格良序集都对应一个唯一的序数)是集合——该集合正是 $\alpha$ 。

接下来，由于屬於 $\alpha$ 的元素皆是传递集(证明概要: 对于属于 $\beta$ 的 $\gamma$ ，我们总能构造一个从 $\gamma$ 到 $X$ 的单射，该单射来源于从 $\beta$ 到 $X$ 的单射)，而參照传递集的定義，其元素為其子集，那麼便形成單射，於是乎便屬於 $\alpha$ 。因此 $\alpha$ 是序数。更进一步地，不存在从 $\alpha$ 到 $X$ 的单射——否则就会导致 $\alpha \in \alpha$ 的矛盾。最后， $\alpha$ 也是满足这一性质的最小序数，否则，如果有一序数 $\beta <\alpha$ ，那么 $\beta \in \alpha$ ，也就是说 $\exists i:\beta \hookrightarrow X$ 。

而不存在 $\alpha$ 到 $X$ 的单射也就意味着 $\alpha$ 与 $X$ 的任意子集都不等势。

历史评价

值得一提的是，在1915年，哈特格斯能够使用的数学工具中既不包括冯·诺伊曼序数也不包括替换公理，因此他的结论是单纯建立在策梅洛集合论上的，导致其与现今的阐述有很大的不同。相反地，他当时考虑的是 $X$ 的良序子集的同构类的集合，以及这一集合上“ $A<B$ 当且仅当 $A$ 同构于 $B$ 的真前段”的关系。哈特格斯证明了存在一个良序集大于 $X$ 的任意良序子集。（这是历史上第一次真正构造出不可数良序集。）然而，他的真正目的其实是证明基数三分法可以推出（十一年前被提出的）良基定理（进一步则等价于选择公理）。