多普勒测量

多普勒测量（英語：Doppler measurement）是通过观测无线电波的多普勒频移来确定两点间的相对速度或距离差的测量方式，后者又称距离差测量。^[1][2]多普勒测量可应用于多普勒雷达、激光多普勒测速仪等各种场合，亦可应用于卫星导航系统中测定卫星或测站的位置（即多普勒定位）和速度^[3][4]。

在相对论框架下，多普勒效应可表达成如下形式：^[2]:183

${\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-v/c\cdot \cos \theta }{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}$

其中，各个量所代表的含义为

• ${\displaystyle f_{r}}$ 是电磁波的接收频率
• ${\displaystyle f_{s}}$ 是电磁波的发射频率
• ${\displaystyle v}$ 是发射者 ${\displaystyle S}$ 相对于接收者 ${\displaystyle P}$ 的速度
• ${\displaystyle \theta }$ 是该速度方向相对于 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\vec {SP}}\end{smallmatrix}}}$ 方向的夹角
• ${\displaystyle c}$ 是光速

两者间距离 ${\displaystyle r}$ 随时间 ${\displaystyle t}$ 的变化率 ${\displaystyle {\dot {r}}}$ 与该相对速度之间的关系为：

${\displaystyle {\dot {r}}={\operatorname {d} \!r \over \operatorname {d} \!t}=-v\cdot \cos \theta }$

因而，将多普勒效应的表达式进行级数展开：

${\displaystyle f_{r}=f_{s}\left(1-{\frac {\dot {r}}{c}}\right)\left(1+{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+\cdots \right)}$

当接收者与发送者的相对速度远小于光速（即 ${\displaystyle {\frac {v}{c}}\ll 1}$）时，仅保留级数的最大项，得到

${\displaystyle f_{r}=f_{s}\left(1-{\frac {\dot {r}}{c}}\right)}$

得到的发射频率 ${\displaystyle f_{s}}$ 与接收频率 ${\displaystyle f_{r}}$ 之差被称为多普勒频移（英語：Doppler shift）：^[1]:273

${\displaystyle \Delta f=f_{s}-f_{r}={\frac {\dot {r}}{c}}f_{s}}$

在除去多普勒频移后，级数中的剩余项被称为横向多普勒效应（英語：transversal Doppler effect）：^[2]:184

${\displaystyle \Delta _{R}={\frac {v^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {3v^{4}}{8c^{4}}}+\cdots }$

横向多普勒效应发生在与发射者与接收者的连线${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\vec {SP}}\end{smallmatrix}}}$ 相垂直的方向上，高精度的测量需要考虑对该效应进行改正。

在发射者与接收者之间设定一相同的基准频率 ${\displaystyle f_{g}}$，当两者间存在多普勒效应时，接收方可以通过混频的方式求得拍频信号 ${\displaystyle f_{g}-f_{r}}$。将该差频信号在时域 ${\displaystyle T}$ 上进行积分：^[2]:184

${\displaystyle N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{g}-f_{r})\operatorname {d} \!T}$

得到的 ${\displaystyle N_{jk}}$ 被称为积分多普勒计数（英語：integrated Doppler count），${\displaystyle T_{j}}$ 和 ${\displaystyle T_{k}}$ 分别表示积分开始和结束的时间。

将多普勒频移的公式代入多普勒计数的公式中，可以将多普勒计数转换为积分起始时刻两者的距离差 ${\displaystyle r_{k}-r_{j}}$ ，即^[1]:274

${\displaystyle N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}{\frac {f_{g}}{c}}{\dot {r}}\operatorname {d} \!T={\frac {f_{g}}{c}}(r_{k}-r_{j})}$

这一测量方式又被称为距离差测量。然而在实际应用中，计数器通常不能判别 ${\displaystyle N_{jk}}$ 的符号，距离差 ${\displaystyle r_{k}-r_{j}}$ 的符号亦无法判别。因此，通常会人为地提高接收者所产生的信号频率至 ${\displaystyle f_{0}}$，以保证 ${\displaystyle f_{0}>f_{r}}$ 恒成立，此时上式变为^[1]:274

${\displaystyle N_{jk}=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{0}-f_{r})\operatorname {d} \!T=\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{0}-f_{g})\operatorname {d} \!T+\int _{T_{j}}^{T_{k}}(f_{g}-f_{r})\operatorname {d} \!T=(f_{0}-f_{g})(T_{k}-T_{j})+{\frac {f_{g}}{c}}(r_{k}-r_{j})}$

积分起始时刻两者的距离差 ${\displaystyle r_{k}-r_{j}}$ 则写作

${\displaystyle r_{k}-r_{j}={\frac {c}{f_{g}}}\cdot \left[N_{jk}-(f_{0}-f_{g})(T_{k}-T_{j})\right]}$

• 子午仪卫星导航系统
• 多普勒无线电定轨定位系统