大稀有三角六十面體
大稀有三角六十面體（英語：great noble triangular hexecontahedron[1]）是完全星形二十面體的對偶多面體，屬於稀有多面體[2]，外觀為有20個星狀尖角的多面體，且面與面有較複雜的交差模式，喬治·奧利舍夫斯基（George Olshevsky）稱其為「Huitzilopochtli」，其與完全星形二十面體都具備等面和等角的特性[3]。大稀有三角六十面體是一種星形六十面體，由60個全等的等腰三角形組成，每個頂點都是9個等腰三角形的公共頂點。大稀有三角六十面體的頂點排列方式與正十二面體相同，但頂點間的相連關係與正十二面體不同，因此其可以視為是正十二面體的一種刻面結果。[4][5] 雖然大稀有三角六十面體被視為是正十二面體的一種刻面結果，但其也可以被認為是與星形二十面體對偶性密切相關的立體。對於後者，帕特里克·杜·瓦爾對完整星形二十面體胞之殼層的命名，在《五十九種二十面體》中的星形二十面體集合中依次使用，被稱為標準的命名規則。而星形二十面體對偶系列立體缺乏這樣的規則，這也是其鮑爾斯縮寫依照其對偶多面體來命名的原因。[1] 性質大稀有三角六十面體共由60個面、90條邊和20個頂點所組成，其中60個面都是等腰三角形每個頂點都是9個等腰三角形的公共頂點。其90條邊中有30條長邊和60條短邊。 頂點圖由於這個立體是完全星形二十面體的對偶多面體，根據對偶多面體的性質，其為面與頂點互換，也就是說，對偶多面體是將原始多面體的頂點變成對偶多面體的面、原始多面體的面變成對偶多面體的頂點，邊與新的頂點連接，因此原有多面體的面會成為對偶多面體的頂點圖，反之亦然，[6]也就是說大稀有三角六十面體的頂點圖會是九角星，對應完全星形二十面體的面。頂點圖為九角星意味著頂點周圍之面的排列方式會依循九角星邊的連接方式：[1]
面的組成大稀有三角六十面體由60個等腰三角形組成，也就是說大稀有三角六十面體的組成面為等腰三角形。這些等腰三角形有著面跟其他的面相交的性質，[5]因此會導致面有部分隱沒在圖形內部，並非所有部分皆可見，因此難以直接從外觀識別出其等腰三角形面。如下圖，露在外面的部份已藍色表示、隱沒於形狀內部的部分以白色表示，黑線為與其他面的交線。 頂點座標大稀有三角六十面體的頂點座標為：[1]
和的偶排列。 其中為，是黃金比例。 對偶多面體 大稀有三角六十面體的對偶多面體為完全星形二十面體。[7]完全星形二十面體是星形二十面體的一種[8]，其包含了星形二十面體的所有胞，因此被稱為「完全的」、「最後的」星形二十面體。 相關幾何體正十二面體大稀有三角六十面體是正十二面體的刻面多面體，即把正十二面體的頂點用其他邊的排列方式重新連接，而不新增頂點或改變頂點的位置。大稀有三角六十面體將正十二面體的頂點改由三個頂點連成三角形。[1][5] 這意味著正十二面體與大稀有三角六十面體共用相同的頂點布局[1]。 小稀有三角六十面體  作為抽象多面體，大稀有三角六十面體與小稀有三角六十面體（small noble triangular hexecontahedron）拓樸同構。[1]小稀有三角六十面體同樣是正十二面體的刻面多面體，但刻面的方式與大稀有三角六十面體不同：構成小稀有三角六十面體的等腰三角形來自於正十二面體頂面的一個頂點和底面的兩個頂點。[9]其對偶多面體是稀有九角星二十面體，即由星形二十面體的D胞所構成的星形多面體。[9]
小稀有三角六十面體外觀與凹五角錐十二面體非常相似。小稀有三角六十面體在外觀上皆為每個面向內凹陷五角錐型的立體，差別僅在凹陷程度不同：小稀有三角六十面體的凹陷程度比凹五角錐十二面體來的淺。
五角柱七百二十胞體
大稀有三角六十面體是五角柱七百二十胞體（pentagon-prismatic heptacosicosachoron）的頂點圖。[7][10]五角柱七百二十胞體是邊的領導元素同於小星形一百二十胞体（small stellated 120-cell）的四維稀有均勻多胞體。[10]這種幾何結構非常複雜，堪稱是同類幾何結構中最複雜的例子之一。[7] 性質五角柱七百二十胞體由720個胞、2520個面、1200條邊和120個頂點所組成。其720個胞皆為五角柱。在其2520個面中，有1800個正方形和720個正五邊形。每個頂點都是60個五角柱的公共頂點，對應的頂點圖為大稀有三角六十面體。[7][10] 頂點座標五角柱七百二十胞體的頂點座標為：
以及的全排列。[10] 參見參考文獻
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