奇異控制

最优控制中的奇異控制（singular control）是指一些不容易求解，無法利用庞特里亚金最小化原理求出完整解的問題。這類問題中只有少部份已有解答，例如金融經濟學中的默頓的投資組合問題（英语：Merton's portfolio problem）或是航空學中的軌跡最佳化問題（英语：trajectory optimization）。以下有進一步的技術說明。

應用庞特里亚金最小化原理時，最常見的困難點是當哈密頓量和控制 ${\displaystyle u}$有線性關係時，也就是${\displaystyle H(u)=\phi (x,\lambda ,t)u+\cdots }$，而且控制有其上下限${\displaystyle a\leq u(t)\leq b}$。為了使${\displaystyle H(u)}$有最小值，需要儘可能的將${\displaystyle u}$增加到最大，或是減少到最小，依${\displaystyle \phi (x,\lambda ,t)}$的符號而異：

${\displaystyle u(t)={\begin{cases}b,&\phi (x,\lambda ,t)<0\\?,&\phi (x,\lambda ,t)=0\\a,&\phi (x,\lambda ,t)>0.\end{cases}}}$

若${\displaystyle \phi }$有時為正，有時為負，偶爾是0，則其解相當的直接，即為起停式控制，當${\displaystyle \phi }$由負切到正時，控制由${\displaystyle b}$切換到${\displaystyle a}$。

若${\displaystyle \phi }$在一段有限時間${\displaystyle t_{1}\leq t\leq t_{2}}$內均為0，則稱為奇異控制。在${\displaystyle t_{1}}$和${\displaystyle t_{2}}$之間，哈密頓量對${\displaystyle u}$的最大化無法提供有關解的資訊，這段期間的解需要透過其他的資訊來求得。

（有一個作法是重複的將${\displaystyle \partial H/\partial u}$對時間微分，直到有出現顯式控制項為止，之後可以令該式為0，求解u。因此在時間 ${\displaystyle t_{1}}$ 和 ${\displaystyle t_{2}}$之間的控制 ${\displaystyle u}$ 會讓奇異條件繼續成立，可以用此方式來計算控制 ${\displaystyle u}$。所得的奇異弧（singular arc）若滿足凱利條件（Kelley condition），奇異弧也會是最佳解：

${\displaystyle (-1)^{k}{\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\left({\frac {d}{dt}}\right)}^{2k}H_{u}\right]\geq 0,\,k=0,1,\cdots }$

^[1]。此條件也稱為廣義的Legendre-Clebsch條件（英语：Legendre-Clebsch condition））。

bang-singular控制是指控制中有起停式控制的成份，也有奇異控制的成份。