应用式函子

在函数式编程中， 应用式函子，或简称应用式（applicative），是在函子和单子之间的中间结构。应用式函子允许函子式计算成为序列（不同于平常函子），但是不允许使用前面计算的结果于后续计算的定义之中（不同于单子）。应用式函子是范畴论中具有张量强度（英语：Strong monad）的不严格幺半群函子（英语：Monoidal functor）的编程等价者。

应用式函子是2008年Conor McBride和Ross Paterson在他们的论文《Applicative programming with effects》中介入的^[1]。应用式函子在Haskell中最初作为库特征出现，现在已经传播到了其他语言，包括Idris、Agda、OCaml、Scala和F#。为了方便使用应用式函子编程，Glasgow Haskell和Idris二者现在提供了专门设计的语言特征。在Haskell中，应用式函子实现在Applicative类型类中。

在Haskell中，应用式是参数化类型，被当作这个类型的数据的容器，加上两个方法：pure和<*>。考虑一个参数化类型f a，类型f的一个应用式的pure方法有着类型：

pure :: a -> f a

它可被认为是把值带入应用式。类型f的应用式<*>方法有着类型：

(<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

它可被认为是在应用式内部函数应用的等价者^[2]。

可作为替代，不提供<*>，转而提供一个叫做liftA2的函数。这两个函数都可以依据另一个来定义，因此在极小化完备定义中只需要其中一个^[3]。

应用式还要求满足四个方程式定律^[3]：

• 同一：pure id <*> v = v
• 复合：pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)
• 同态：pure f <*> pure x = pure (f x)
• 互换：u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

所有应用式都是函子。出于明确性，给定方法pure和<*>，fmap可以被实现为^[3]：

fmap f x = pure f <*> x

常用的表示法f <$> x等价于pure f <*> x。

在Haskell中，Maybe类型可以做成类型类Applicative的实例，使用下列定义^[2]：

instance Applicative Maybe where
    -- pure :: a -> Maybe a
    pure a = Just a

    -- (<*>) :: Maybe (a -> b) -> Maybe a -> Maybe b
    Nothing  <*> _        = Nothing
    _        <*> Nothing  = Nothing
    (Just g) <*> (Just x) = Just (g x)

如定义章节所述，pure将一个a转变成一个Maybe a，而<*>应用一个Maybe函数到一个Maybe值。对类型a使用Maybe应用式，允许在类型a的值上进行运算，其错误由应用式机制自动处理。例如，要加1到n :: Maybe Int，只需要写：

(+1) <$> n

如果n = Nothing，则结果将是Nothing；而如果n = Just k，则结果会是Just (k+1)。这个例子还展示了应用式如何允许某种泛型函数应用。

• 类型类
• 函子
• 单子

維基教科書中的相關電子教程：应用式函子

• Description of the Applicative typeclass in the Haskell docs （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Definition of the Applicative typeclass in the Glasgow Haskell Prelude^{[失效連結]}