循環單位

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在趣味數學中，循環單位是由1組成的數如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler稱這類數為repunit，表示repeated unit。

對於n≥1，循環單位可以這樣定義：

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={b^{n}-1 \over b-1}\qquad \,\!}$

亦可以用遞歸的方法：

${\displaystyle R_{0}=0\,\!}$

${\displaystyle R_{n}=bR_{n-1}+1\,\!}$

其中${\displaystyle b\,\!}$是进位制的底。在這篇文章，循環單位都是指十进制中的。

${\displaystyle R_{1}\,\!}$至${\displaystyle R_{b}\,\!}$的循環單位，${\displaystyle R_{n}\,\!}$的平方有一個很有趣的性質，它們都會得出由1到${\displaystyle n\,\!}$的數字順序組成的回文数。例如十进制中的：

        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原則於十進制，只在${\displaystyle n<10\,\!}$的情況下才能生效，因為在${\displaystyle n>9\,\!}$的情況下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$的平方已經不能組成迴文數。例如：

      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

雖然在${\displaystyle 9<n<19\,\!}$的情況下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$的平方不能組成迴文數，卻有著固定的結構：

1. 如果${\displaystyle n=10\,\!}$，前綴：123456790，後綴：0987654321
2. 如果${\displaystyle n>10\,\!}$，前綴：123456790，中段：從1開始順序數數，直至得出${\displaystyle n\,\!}$與9的差，再倒數至2，後綴：0987654321

當${\displaystyle n}$能被大於1的${\displaystyle k}$整除時，${\displaystyle R_{k}|R_{n}}$（例如${\displaystyle 111111111=111\times 1001001}$），因此若${\displaystyle R_{n}}$是質數，${\displaystyle n}$必須是質數。

現在已知${\displaystyle n=2,19,23,317,1031}$時，${\displaystyle R_{n}}$是質數，而${\displaystyle n=49081,86453,109297,270343,5794777,8177207}$的${\displaystyle R_{n}}$則可能是偽素數，${\displaystyle R_{8177207}}$是目前已知最大的可能質數。

• 循環單位因數表