普朗克-愛因斯坦關係式

馬克斯·普朗克（左）與阿尔伯特·爱因斯坦（右）。

在量子力學裏，普朗克-愛因斯坦關係式^[1][2]闡明，光子的能量與頻率成正比：

${\displaystyle E=h\nu }$；

其中，${\displaystyle E}$是光子能量，${\displaystyle h}$是普朗克常數，${\displaystyle \nu }$是光子頻率。

普朗克-愛因斯坦關係式是因物理學者馬克斯·普朗克與阿尔伯特·爱因斯坦而命名，又稱為「普朗克關係式」^[3]、「普朗克公式」^[4]或「愛因斯坦關係式」^[1][5][6]。這關係式說明了光子的量子化性質，是解釋光電效應、普朗克黑體輻射定律等物理現象的關鍵機制。

光波可以用以下光譜量來表徵：頻率、波長${\displaystyle \lambda }$、波數${\displaystyle k}$、角頻率${\displaystyle \omega }$。它們彼此之間的關係為

${\displaystyle \nu ={\frac {c}{\lambda }}={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {ck}{2\pi }}}$。

普朗克關係式也可以寫為

${\displaystyle E=h\nu ={\frac {hc}{\lambda }}}$，

或採用角形式，

${\displaystyle E=\hbar \omega =\hbar ck}$；

其中，${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$是約化普朗克常數，${\displaystyle c}$是光速。

德布羅意關係式將普朗克關係式推廣至物質波。路易·德布羅意主張，假若粒子擁有波動性質，則普朗克關係式${\displaystyle E=h\nu }$應該可以應用於粒子。他假設粒子的波長為^[6][7][8]

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$；

其中，${\displaystyle p}$是動量。

將這兩個公式合併在一起，可以得到

${\displaystyle p=\hbar k}$。

以向量形式來表達，

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$。

玻爾頻率條件闡明，當發生電子躍遷時，吸收或發射的光子的頻率與涉及到躍遷的兩個能級之間的能量差${\displaystyle \Delta E}$，彼此之間的關係為^[9]

${\displaystyle \Delta E=h\nu .}$。

這條件是普朗克關係式的直接結果。

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