普朗歇爾定理

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普朗歇爾定理（又稱帕塞瓦爾-普朗歇爾恒等式^[1] ）是调和分析的重要定理，由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说，如果${\displaystyle f(x)}$是實數線上的函数，并且${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$是它的频谱，那么

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi ,}$$或者寫成${\displaystyle L^{2}}$範數:$${\displaystyle ||f(x)||_{L^{2}}=||{\hat {f}}(\xi )||_{L^{2}}}$$

數學上更嚴格的描述是，令函数${\displaystyle f}$同时屬於两个L ^p空间${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$和${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ，那么它的傅里叶变换${\displaystyle {\hat {f}}}$屬於${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$， 且為${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$中的等距變換。

這代表限制在${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$上的傅里叶变换有一個唯一的等距擴張${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$，有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾变换。此變換同時也是幺正的，透過此變換，我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里叶变換。

普朗歇爾定理可以被推廣到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上，若是滿足一些其他的假設，普朗歇爾定理有另一個版本在非交换局部紧緻群上成立，更多細節可以參考非交换调和分析。

由於在${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$上內積與範數是相容的，我們也可以把普朗歇爾定理应用到${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$的内积上。也就是說，如果${\displaystyle f(x)}$、${\displaystyle g(x)}$是两个在${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$內的函數，${\displaystyle {\mathcal {P}}}$表示普朗歇爾变换，则

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}$$

而如果${\displaystyle f(x)}$和${\displaystyle g(x)}$屬於${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$，有$${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$以及$${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$所以

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .}$$

• 應用於球帶函數的普朗歇爾定理（英语：Plancherel theorem for spherical functions）

1. ^ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert. Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics. Wiley. 1997: 11. ISBN 0-471-18433-0. 

• Plancherel, Michel, Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1910, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 .
• Dixmier, J., Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars, 1969 .
• Yosida, K., Functional Analysis, Springer Verlag, 1968 .

• Plancherel's Theorem on Mathworld