最大子数列问题

在计算机科学中，最大子数列问题（英語：Maximum subarray problem）的目标是在数列的一维方向找到一个连续的子数列，使该子数列的和最大。例如，对一个数列[−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4]，其连续子数列中和最大的是[4, −1, 2, 1], 其和为6。

该问题最初由布朗大学的烏爾夫·格雷南德（英语：Ulf Grenander）教授于1977年提出，当初他为了展示数字图像中一个简单的最大似然估计模型。不久之后卡内基梅隆大学的傑·卡丹（英语：Joseph Born Kadane）提出了该问题的线性算法。(Bentley 1984)。

卡丹算法扫描一次整个数列的所有数值，在每一个扫描点计算以该点数值为结束点的子数列的最大和（正数和）。该子数列由两部分组成：以前一个位置为结束点的最大子数列、该位置的数值。因为该算法用到了“最佳子结构”（以每个位置为终点的最大子数列都是基于其前一位置的最大子数列计算得出），该算法可看成动态规划的一个例子。

算法可用如下Python代码实现：

def max_subarray(A):
    max_ending_here = max_so_far = A[0]
    for x in A[1:]:
        max_ending_here = max(x, max_ending_here + x)
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far

该问题的一个变种是：如果数列中含有负数元素，允许返回长度为零的子数列。该问题可用如下代码解决：

def max_subarray(A):
    max_ending_here = max_so_far = 0
    for x in A:
        max_ending_here = max(0, max_ending_here + x)
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far

这种算法稍作修改就可以记录最大子数列的起始位置。卡丹算法时间复杂度为${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$，空间复杂度为${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$。

• Bentley, Jon, Programming pearls: algorithm design techniques, Communications of the ACM, 1984, 27 (9): 865–873, doi:10.1145/358234.381162 .
• Brodal, Gerth Stølting; Jørgensen, Allan Grønlund, A linear time algorithm for the k maximal sums problem, Mathematical Foundations of Computer Science 2007, Lecture Notes in Computer Science 4708, Springer-Verlag: 442–453, 2007, doi:10.1007/978-3-540-74456-6_40 .
• Takaoka, T., Efficient algorithms for the maximum subarray problem by distance matrix multiplication (PDF), Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 2002, 61 [2014-10-02], （原始内容 (PDF)存档于2013-10-29） .

• www.algorithmist.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• alexeigor.wikidot.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Algorithm Design Techniques