李亚普诺夫指数

在数学领域中，李亚普诺夫指数（Lyapunov exponent）或李亚普诺夫特征指数（Lyapunov characteristic exponent）用于量化动力系统中无限接近的轨迹之间的分离率。具体而言，相空间中初始间隔${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$的两条轨迹的分离率为（假定分离可按线性近似来处理）

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|\,}$

其中${\displaystyle \lambda }$即为李亚普诺夫指数。

当初始分离向量的方向不同时，其分离率也不同。因而存在李亚普诺夫指数谱（spectrum of Lyapunov exponents），其数量与相空间的维度相同。通常将其中最大的称为最大李亚普诺夫指数（Maximal Lyapunov exponent，简称MLE），因为它决定了动力系统的可预测性。正的MLE通常表明系统是混沌的（假定其他条件满足，如相空间的紧致性）。需要注意的是，任意初始分离向量一般包括了MLE所在方向的部分分量，由于其随指数增长的特征，其他分量的效果随着时间最终会被掩盖。

李亚普诺夫指数是以俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫的名字命名的。

最大李亚普诺夫指数定義為

${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{\delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}.}$

極限${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}\to 0}$確保任何時間線性近似的可行性^[1]。

對離散時間系統（映射或迭代）${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$和以${\displaystyle x_{0}}$為起始的軌跡，上式可以轉換成

${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|.}$

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1. ^ Cencini, M.; et al. World Scientific , 编. Chaos From Simple models to complex systems. 2010. ISBN 978-981-4277-65-5.