李亞普諾夫方程

李亞普諾夫方程（英語：Lyapunov equation）是控制理論中的名詞，離散李亞普諾夫方程的型式如下：

${\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}$

其中${\displaystyle Q}$為埃尔米特矩阵，${\displaystyle A^{H}}$為${\displaystyle A}$的共轭转置。而連續李亞普諾夫方程則是

${\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0}$

李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫。

在以下的定理中，${\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$，且${\displaystyle P}$ 和${\displaystyle Q}$是對應矩陣。而${\displaystyle P>0}$的意思是指${\displaystyle P}$矩陣為正定矩陣。

定理（連續時間版本）：給定任意${\displaystyle Q>0}$，存在唯一${\displaystyle P>0}$滿足${\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0}$的充份必要條件是線性系統${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$是全域漸近穩定。二次函數${\displaystyle V(z)=z^{T}Pz}$是李亞普諾夫函數，可以驗證系統的穩定性。

定理（離散時間版本）：給定任意${\displaystyle Q>0}$，存在唯一${\displaystyle P>0}$滿足${\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0}$的充份必要條件是線性系統${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)}$是全域漸近穩定。${\displaystyle z^{T}Pz}$為其李亞普諾夫函數。

有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式，常會用Kitagawa的Schur法^[1]，若是連續型式，則會用Bartels和Stewart的計算法^[2]。

定義${\displaystyle \operatorname {vec} (A)}$（向量化）運算子是將矩陣A的所有列堆起来所形成的列向量，而${\displaystyle A\otimes B}$是${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的克罗内克积。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且，若矩陣${\displaystyle A}$穩定，解也可以用積分（連續時間）或是無限項和（離散時間）來表示。

利用${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)}$的結果，可以得到

${\displaystyle (I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)}$

其中${\displaystyle I_{n^{2}}}$為可相乘（英语：conformable）的單位矩陣^[3]。可以積分或或是求解線性方程，即可以得到${\displaystyle \operatorname {vec} (X)}$。再將各列重新整理，即可得到${\displaystyle X}$。

而且，若${\displaystyle A}$穩定，解${\displaystyle X}$也可以表示為

${\displaystyle X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}}$。

再利用克罗内克积和${\displaystyle \operatorname {vec} (A)}$運算子，可以得到矩陣方程

${\displaystyle (I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q,}$

其中${\displaystyle {\bar {A}}}$是將${\displaystyle A}$各元素取共軛得到的矩陣。

類似離散時間的情形，若${\displaystyle A}$穩定，解${\displaystyle X}$也可以表示為

${\displaystyle X=\int \limits _{0}^{\infty }e^{A\tau }Qe^{A^{H}\tau }d\tau }$.

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