柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

如果函数${\displaystyle f(x)}$及${\displaystyle g(x)}$满足

1. 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上连续；
2. 在开区间${\displaystyle (a,b)}$内可微分；
3. 对任意${\displaystyle x\in (a,b),g'(x)\neq 0}$；

那么在${\displaystyle (a,b)}$内至少有一点${\displaystyle \xi (a<\xi <b)}$，使等式

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}}$

或

${\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(\xi )=(g(b)-g(a))f\,'(\xi )\,}$

成立。

其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线，因为可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处，曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

${\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),}$

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

首先，如果${\displaystyle g(a)=g(b)}$，由罗尔定理，存在一点${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$使得${\displaystyle g'(x_{0})=0}$，与条件3矛盾。所以${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$。

令${\displaystyle h(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g(x)}$。那么

1. ${\displaystyle h}$在${\displaystyle [a,b]}$上连续，
2. ${\displaystyle h}$在${\displaystyle (a,b)}$上可导，
3. ${\displaystyle h(a)=h(b)={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}}$。由罗尔定理，存在一点${\displaystyle c\in (a,b)}$使得${\displaystyle h'(c)=0}$。即${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(c)}$。命题得证。

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