梅滕斯函數

梅滕斯函數（Mertens function）為一數論中的函數，針對所有正整數n定义，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定义如下

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$，

其中μ是默比乌斯函数。

上述定義也可以延伸到實數：

${\displaystyle M(x)=\sum _{1\leq k\leq x}\mu (k).}$

以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的无平方数因数的数，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。

前160個梅滕斯函數的值為（OEIS數列A002321）

梅滕斯函數緩慢的增長及減少，不論其平均值或是峰值都有類似特性，其函數以類似混沌的方式,在零的上下變化，梅滕斯函數在以下幾點的數值為零：

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... （OEIS數列A028442）.

利用類似質數計算的埃拉托斯特尼筛法，可以隨著n的增加，計算梅滕斯函數

所有不大於N正整數的梅滕斯函數可以在用O(N^2/3+ε)時間內算出來，不過已知有更好的演算法。有基本的演算法可以計算單獨的M(N)，時間複雜度為O(N^2/3*(ln ln(N))^1/3)。

A084237為10的冪下的梅滕斯函數。

因為默比乌斯函数的數值只有-1、0及+1，因此梅滕斯函數緩慢的變化，不存在正整數n使得|M(n)| > n。梅滕斯猜想更進一步，認為不存在正整數n使得梅滕斯函數的絕對值超過數值的平方根。梅滕斯猜想是由汤姆斯·斯蒂尔吉斯在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特与弗朗茨·梅滕斯的信中提出的，已在1985年被安德魯·奧德里茲科（英语：Andrew Odlyzko）與赫爾曼·特里爾（英语：Herman te Riele）證否^[1]。

黎曼猜想等價於較弱型式的梅滕斯猜想M(n) = O(n^{1/2 + ε})。因為較高的M(n)成長的速度至少和n的平方根一様快，因此可以對成長速率定出上下限。此處的O為大O符号。

• 梅滕斯猜想
• 劉維爾函數

• Edwards, Harold. Riemann's Zeta Function. Mineola, New York: Dover. 1974. ISBN 0-486-41740-9. 
• F. Mertens, "Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761–830.
• 埃里克·韦斯坦因. Mertens function. MathWorld. 
• Jose Javier Garcia Moreta. Borel Resummation & the Solution of Integral Equations. [2015-07-26]. （原始内容存档于2015-07-25）. 
• Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002321 (Mertens's function). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Marc Deléglise, Joöl Rivat. Computing the Summation of the Möbius Function.. Experiment. Math. 1996, 2: 291–295 [2015-07-25]. （原始内容存档于2015-07-26）.