模曲線

在代數幾何及數論領域，模曲線是一類緊黎曼曲面，同時也是定義於某數域上的射影代數曲線。模曲線是當代數論、表示理論及代數幾何中重要的課題。

「模曲線」一詞源於以下事實：模曲線參數化了一族橢圓曲線，因而是一種模空間。志村簇是模曲線在高維度的類比。

考慮上半平面 ${\displaystyle {\mathcal {H}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\hbox{Im}}(z)>0\}}$。取 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 對模群 ${\displaystyle \Gamma :={\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$ 的有限指數子群之商，所得到的未必是緊緻空間。作完備化後便得到模曲線。可以證明模曲線必然是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 上的平滑代數曲線；從複分析角度來看，便是緊黎曼曲面。

對正整數 ${\displaystyle N}$，定義同餘子群

${\displaystyle \Gamma (N):={\hbox{Ker}}({\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} ){\stackrel {{\hbox{mod }}N}{\longrightarrow }}{\hbox{SL}}(2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ))}$。

相應的模曲線記為 ${\displaystyle X(N)}$，也稱為古典模曲線。除了完備化添加的尖點外，其複值點一一對應於下述資料的同構等價類：

${\displaystyle (E,P)}$，${\displaystyle E}$ 是複橢圓曲線、${\displaystyle P\in E(\mathbb {C} )}$ 是 ${\displaystyle N}$-撓點。

當 ${\displaystyle N\leq 2}$ 時，${\displaystyle X(N)}$ 的虧格等於零，否則其虧格則是

${\displaystyle g(X(N))=1+{\frac {N^{2}(N-6)}{24}}\prod _{p|N}(1-p^{-2})}$。

${\displaystyle \Gamma (N)}$ 的模形式可理解為 ${\displaystyle X(N)}$ 上某族線叢的截面。此時可以用幾何方式研究赫克算子，因為它們由模曲線之間的對應給出。

• A.A. Panchishkin, A.N. Parshin, Modular curve, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）