正定函數 (實值連續可微函數)

一個實值、連續可微的函數f在原點附近的區域D為正定函數，其條件是

• ${\displaystyle f(0)=0}$
• ${\displaystyle f(x)>0}$ 對於所有不為零的${\displaystyle x\in D}$^[1][2]

若上式中的不等式改為小於，則函數f為負定函數。若以上不等式改為 ${\displaystyle \geq }$ 或 ${\displaystyle \leq }$，則函數f為半正定函數或半負定函數。

在物理學中，有時會省略${\displaystyle f(0)=0}$的條件（例如Corney和Olsen^[3]）。

f在原點附近的區域D為正定函數，f在此區域原點以外的位置均大於0，只有原點會為0，因此在原點位置有區部最小值，此一特性會用在控制系統的穩定性分析裡。

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$滿足${\displaystyle f(0)=0}$，其他位置的${\displaystyle f(x)}$均大於0的條件，因此即為正定函數。

${\displaystyle f(x)=|x|}$雖然也滿足${\displaystyle f(0)=0}$，其他位置的${\displaystyle f(x)}$均大於0的條件，但在${\displaystyle x=0}$的位置不可微，因此不是正定函數。

• 正定函數

1. ^ Verhulst, Ferdinand. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems 2nd. Springer. 1996. ISBN 3-540-60934-2. 
2. ^ Hahn, Wolfgang. Stability of Motion. Springer. 1967. 
3. ^ Corney, J. F.; Olsen, M. K. Non-Gaussian pure states and positive Wigner functions. Physical Review A. 19 February 2015, 91 (2): 023824. Bibcode:2015PhRvA..91b3824C. ISSN 1050-2947. S2CID 119293595. arXiv:1412.4868 . doi:10.1103/PhysRevA.91.023824.