在几何学 中，正轴形 ，或称交叉形 [ 1] 正交形 [ 2] 超正八面体 、余方形 ，是一个正 的、凸的、存在于任意维度的多胞形 。正轴形的顶点坐标都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列，正轴形是这些顶点的凸包 。它的(n-1)维表面是(n-1)维的正单纯形 ，而正轴形的顶点图 是前一维的另一正轴形。
n 维正轴形也可以用在R n ℓ1 -赋范 下的单位球 （或者，对于某些学者，单位球面）来定义；
{
x
∈
R
n
:
‖
x
‖
1
≤
1
}
.
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}
在一维，正轴形就是线段 [−1, +1]，在二维它是正方形 （或叫做正菱形），有顶点{(±1, 0), (0, ±1)。在三维它是正八面体 —五个正多面体 ，即柏拉图立体 之一。更高维的正轴形总结如下：
正轴形是超方形 的对偶多胞形 。n 维正轴形的一阶骨架 Turán图 T (2n ,n )。
四维正轴形也被叫做正十六胞体 。它是6个四维凸正多胞体 之一。这些多胞体 最先被瑞士数学家路德维希·施莱夫利 在19世纪中期描述过。
正轴形 家族是三个延伸至正无穷维的正多胞形 家族之一，考克斯特 将其标记为βn ，另外两个是超方形 家族，记为γn ，以及单纯形 家族，记为αn 第四个非凸多胞形的家族，超方形密铺 家族，他将其标记为δn 。
n 维正轴形有2n 个顶点，及2n n −1)-单纯体 的维面（n −1 维组成元素）。它的顶点图 都是n − 1维的正轴形。正轴形的施莱夫利符号 是{3,3,…,3,4}。n -维正轴形的二面角 是
arccos
(
2
−
n
n
)
{\displaystyle \arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}
n -维正轴形的k -维组成元素（顶点、棱、面、…、维面）的个数由以下公式给出（见二项式系数 ）：
2
k
+
1
(
n
k
+
1
)
{\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}
n -维正轴形的超体积为：
2
n
n
!
.
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2^{n}}}{n!}}.}
这里有许多能够以二维图像展示正轴形的正交投影 ，皮特里多边形 投影是常用的一种投影，将其顶点，投影到一个2n 边形或更低阶的正多边形上。第二次的投影再投影于更低维中的2(n-1) 边皮特里多边形，例如双角锥 ，我们可将其沿主轴投影，两个顶点被投影到了投影的中心。
正轴形元素
n
βn 11
名称图像
图像
图像
施莱夫利
考克斯特- 迪肯符号 顶点
棱
面
胞
4 -表面
5 -表面
6 -表面
7 -表面
8 -表面
9 -表面
1
β1
线段
{}
2
2
β2 11
正方形 二维正轴体
{4}
4
4
3
β3 11
正八面体 三维正轴体
{3,4}0,1,1 }
6
12
8
4
β4 11
正十六胞体 四维正轴体
{3,3,4}1,1,1 }
8
24
32
16
5
β5 11
5-正轴体 五维正轴体
{33 ,4}2,1,1 }
10
40
80
80
32
6
β6 11
6-正轴体 六维正轴体
{34 ,4}3,1,1 }
12
60
160
240
192
64
7
β7 11
7-正轴体 七维正轴体
{35 ,4}4,1,1 }
14
84
280
560
672
448
128
8
β8 11
8-正轴体 八维正轴体
{36 ,4}5,1,1 }
16
112
448
1120
1792
1792
1024
256
9
β9 11
9-正轴体 九维正轴体
{37 ,4}6,1,1 }
18
144
672
2016
4032
5376
4608
2304
512
10
β10 11
10-正轴体 十维正轴体
{38 ,4}7,1,1 }
20
180
960
3360
8064
13440
15360
11520
5120
1024
...
n
βn k 11
n -正轴体n 维正轴体
{3n − 2n − 3,1,1
2n 0-表面 , ...
2
k
+
1
(
n
k
+
1
)
{\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}}
k -表面n (n-1)-表面
等轴正轴形的顶点在曼哈顿距离 下，任意两点之间的距离都是相等的（L1 赋规 ）。库斯纳猜想 d 个点组成的集合是在这距离下最大的等距集。[ 3]
^ Elte [1] （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）^ Conway 把它叫做n-orthoplex 寓意正交 的复杂图形^ Guy, Richard K., 开放式问题的综合，怪异的构成, 美国数学月刊, 1983, 90 (3): 196–200, JSTOR 2975549
