波斯尼科夫塔

在代数拓扑和同伦论中，波斯尼科夫塔（Postnikov Tower或称：波斯尼科夫系统）是关于CW复形在同伦意义下进行分解的一种方法。形象地说，给定一个连通的CW复形${\displaystyle \;X\;}$，${\displaystyle \;X\;}$可以分解成一系列CW复形的逼近，使得每一个复形都是它前面一个复形和一个Eilenberg-McLane空间(Eilenberg-McLance space)的纤维丛乘积。

具体地说，我们有如下定理：

定理: 任给一个连通的CW复形${\displaystyle \;X\;}$，记其${\displaystyle \;q\;}$阶同伦群为${\displaystyle \;\pi _{q}\;}$。对于每一个自然数${\displaystyle \;n\;}$，存在一组的纤维丛${\displaystyle \;Y_{q}\to Y_{q-1},1<q\leq n\;}$，其纤维(fiber)为${\displaystyle \;K(\pi _{q},q)\;}$，和CW映射${\displaystyle \;X\to Y_{q}\;}$，使得

1. 如下图表可交换：

   

2. ${\displaystyle \;X\to Y_{q}\;}$诱导了阶数小于等于${\displaystyle \;q\;}$的同伦群的同构。

在上面的定理中，${\displaystyle \;K(\pi _{q},q)\;}$为Eilenber-McLance空间，即${\displaystyle \;q\;}$同伦群为${\displaystyle \;\pi _{q}\;}$，其余为0的CW复形。我们称上面的纤维丛序列为Postnikov塔，并且有

${\displaystyle \;X\simeq \lim _{\longleftarrow }Y_{n}.\;}$

上述定理的证明过程实际上就是波斯尼科夫塔的构造过程。我们从构造${\displaystyle \;Y_{n}\;}$开始：实际上，对于${\displaystyle \;X\;}$，我们不停地往其上贴维数大于${\displaystyle \;n\;}$的胞腔使得${\displaystyle \;X\;}$的大于${\displaystyle \;n\;}$阶的同伦群都变得平凡，记之为${\displaystyle \;Y_{n}\;}$，则我们有

${\displaystyle \;\pi _{q}(X)\cong \pi _{q}(Y_{n}),\quad q\leq n.\;}$

按照同样的方法，我们可以构造${\displaystyle \;Y_{n-1},\cdots ,Y_{1}\;}$，并且有

${\displaystyle \;X\subset Y_{n}\subset Y_{n-1}\subset \cdots \subset Y_{2}\subset Y_{1},\;}$

代数拓扑里面的一个定理说，每一个包含映射实际上都可以看成一个纤维丛，那么把上面这一串包含映射转换成纤维丛的语言，就得到Postnikov塔，并且可以证明每个纤维都是一个Eilenberg-McLane空间${\displaystyle \;K(\pi _{q},q)\;}$。

如前所述，波斯尼科夫塔给出了CW复形的一种同伦意义下的分解。原则上，根据同伦正合列(homotopy exact sequence)或者塞尔谱序列我们可以根据一个CW复形的波斯尼科夫塔计算出该复形的同伦群和同调群。

虽然如此，波斯尼科夫塔的应用要等到 D. Quillen，陈国才(K.-T. Chen)特别是 D. Sullivan的有理同伦论发展以后才能够得到更加精妙的应用。

自1980年代以来，物理特别是量子场论的思想非常深刻地影响了数学的发展。物理学家所用的一些工具，以及思考问题的方法在同伦论中也有所反映。波斯尼科夫塔，有理同伦论，还有前后出现的Stasheff的同伦结合性(homotopy associativity)以及J. P. May等人提出的Operad（英语：Operad）概念，等等，经过量子场论的重新考察，已经非常紧密地联系起来，成为代数拓扑里面一个非常活跃的研究领域。

关于一般的代数拓扑的书，可以参考

• R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. 此书在中国大陆有影印本，由世界图书出版公司发行。

关于有理同伦论，特别是Sullivan的思想以及跟Postnikov塔的关系，可以参考

• P. Griffiths and J. Morgan, Rational homotopy theory and differential forms. Progress in Mathematics, 16. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981.

关于代数拓扑跟量子场论的密切关系，可以参考M. Atiyah, G. Segal以及Kontsevich等人的论文。