管状邻域

在数学中，一个光滑流形的子流形的管状邻域是它周围的一个开集，与法丛类似。

管状邻域的想法可以用一个简单的例子说明。考虑平面内一个没有自交的光滑曲线。在曲线的每一个点处作一条与这个曲线垂直的直线。这些直线之间会以一种很复杂的形式相交，除非这条曲线是直的。然而，如果只观察临近曲线的一个狭窄的条带，这些直线在条带内的部分不会相交，并会没有缝隙地覆盖这个条带。这个条带就是一个管状邻域。

一般地，令S为流形M的一个子流形，令N为在M上S的法丛。这里S扮演曲线的角色，M扮演包含曲线的空间的角色。考虑自然映射

${\displaystyle i:N_{0}\rightarrow S}$

建立起N的零截线N₀与M的一个子流形S之间的双射关系。关于值在M中的全部法丛N的这个映射的一个外延j，使j(N)是M上的一个开集，并且j是N与j(N)的一个同胚，称作管状邻域。

一个光滑曲线的法向管是由一些圆盘的并定义的流形，使得

• 所有的圆盘有相同的固定半径
• 圆盘的中心都落在曲线上
• 每个圆盘都落在曲线的法平面上

令${\displaystyle S\subseteq M}$光滑流形。${\displaystyle S}$在${\displaystyle M}$中的管状邻域是一个向量丛${\displaystyle \pi :E\to S}$伴随一个光滑映射${\displaystyle J:E\to M}$使得

• ${\displaystyle J\circ s_{0}=i}$, 其中${\displaystyle i:S\hookrightarrow M}$是嵌入，${\displaystyle s_{0}}$是零截面
• 存在某个${\displaystyle U\subseteq E}$和某个${\displaystyle V\subseteq M}$以及${\displaystyle s_{0}(S)\subseteq U}$和${\displaystyle S\subseteq V}$使得${\displaystyle J|_{U}:U\to V}$是一个微分同胚。

一般而言，光滑流形可以生成广义管状邻域，比如正规邻域，或者庞加莱空间的球面纤维化。

这些一般化常被用于构造（稳定）法丛的对应物，在没有直接描述的空间中作为切丛的替代。