罗伊恒等式

罗伊恒等式（Roy's identity）是微观经济学中的一项重要结果，在生产者理论和消费者理论中都有应用。

设消费者的间接效用函数为${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$，则商品${\displaystyle i}$的马歇尔需求函数即为

${\displaystyle x_{i}^{m}=-{\frac {\partial v/\partial p_{i}}{\partial v/\partial w}}}$，

其中${\displaystyle \mathbf {p} }$为各商品的价格向量，${\displaystyle w}$为收入。^[1]

根据定义，间接效用函数满足约束条件${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x} =w}$下的最大值${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)=\max _{\mathbf {x} }u(\mathbf {x} )}$。因此由带约束的包络定理立即得到

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {p} }}=-\lambda \mathbf {x} }$，

其中${\displaystyle {\mathcal {L}}=u(\mathbf {x} )-\lambda (\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -w)}$为拉格朗日乘數，由其表达式可得${\displaystyle \lambda ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w}}={\frac {\partial v}{\partial w}}}$，代入上式即得证。^[2]

• 薛福輔理