艾多尼數

艾多尼數（Idoneal number），又稱合適數（suitable numbers）或方便數（convenient numbers），指的是一個有如次性質的正整數${\displaystyle D}$：若對於${\displaystyle D}$而言，任何能唯一地表示成${\displaystyle x^{2}\pm Dy^{2}}$（其中${\displaystyle x^{2}}$和${\displaystyle Dy^{2}}$互質）這種形式的正整數，都必然是質數的次方或質數的次方的兩倍，則稱${\displaystyle D}$為艾多尼數。特別地，在${\displaystyle D}$是艾多尼數的狀況下，任何能非唯一地表示成${\displaystyle x^{2}\pm Dy^{2}}$這種形式的正整數，都必然是合成數。所有的艾多尼數都可生成包含無限多個質數、但同時也遺漏無限多個質數的集合。

英語中的「idoneal」一詞，來自拉丁語的「idoneus」^[1]；而拉丁語的「idoneus」的意思是「合適的、合宜的、方便的」或「足夠的」。

一個正整數${\displaystyle D}$是艾多尼數，當且僅當不存在三個彼此相異的正整數${\displaystyle a,b,c}$，使得${\displaystyle D=ab+bc+ac}$。^[2]

考慮{ n + k² | 3 . k² ≤ n ∧ gcd (n, k) = 1 }這樣的集合是充分的，如果所有集合中的元素都是形如p、p²、2 · p或${\displaystyle 2^{s}}$這樣的數（其中p是質數而s是任意正整數），那麼n是艾多尼數。^[3]

未解決的數學問題：艾多尼數的數量是65個、66個或67個？

以下是萊昂哈德·歐拉和卡爾·弗里德里希·高斯發現的65個艾多尼數，而有猜想認為，這65個數就是所有的艾多尼數：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848 （OEIS數列A000926）

艾多尼數和複二次域的性質相關；而從彼得·溫伯格在1973年的一篇關於複二次域的證明中，^[4]可導出說除了上述的艾多尼數外，至多只有兩個額外的艾多尼數；而在廣義黎曼猜想成立的狀況下，上述的艾多尼數就是所有的艾多尼數。此外一些文獻聲稱，溫伯格的結果可導出至多只有一個額外的艾多尼數，但這是錯誤的。^[5]

• 未解決的數學問題

1. ^ Oxford English Dictionary. Oxford English Dictionary. [2025-01-20] （英语）. 
2. ^ Eric Rains, A000926 Comments on A000926, December 2007.
3. ^ Roberts, Joe: The Lure of the Integers. The Mathematical Association of America, 1992
4. ^ Acta Arith., 22 (1973), p. 117-124
5. ^ Kani, Ernst. Idoneal numbers and some generalizations (PDF). Annales des Sciences Mathématiques du Québec. 2011, 35 (2). Corollary 23, Remark 24. 

• Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press, NY, 1966, pp. 425–430.
• D. A. Cox. Primes of the Form x² + ny². Wiley-Interscience. 1989: 61. ISBN 0-471-50654-0. 
• L. Euler, "An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers", 1806
• G. Frei, Euler's convenient numbers, Math. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 and 64.
• O-H. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rev. 85m:11019]
• G. B. Mathews, Theory of Numbers, Chelsea, no date, p. 263.
• P. Ribenboim, "Galimatias Arithmeticae", in Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA or, 'My Numbers, My Friends', Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY
• J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
• A. Weil, Number theory: an approach through history; from Hammurapi to Legendre, Birkhaeuser, Boston, 1984; see p. 188.
• P. Weinberger, Exponents of the class groups of complex quadratic fields, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
• Ernst Kani, Idoneal Numbers And Some Generalizations, Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

• K. S. Brown, Mathpages, Numeri Idonei
• M. Waldschmidt, Open Diophantine problems
• 埃里克·韦斯坦因. Idoneal Number. MathWorld.