蛇引理

在同調代數中，蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具，此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態。

考慮一阿貝爾範疇${\displaystyle {\mathcal {A}}}$（例如阿貝爾群或模的範疇）中的交換圖：

使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫${\displaystyle a,b,c}$的核與上核的正合序列：

${\displaystyle \ker a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} c}$

此外，若${\displaystyle f}$是單射，則${\displaystyle \ker a\to \ker b}$亦然；若${\displaystyle g'}$是滿射，則${\displaystyle \mathrm {coker} b\to \mathrm {coker} c}$亦然。

為了理解蛇引理的由來，觀察下圖：

並注意到：引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒S狀的蛇形。

核間的同態與上核間的同態很容易構造，它們由該圖的交換性自然導出，正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連接同態${\displaystyle d}$及序列在該處的正合性。

對於模範疇的情形，同態${\displaystyle d}$可如是構造：

選定${\displaystyle x\in \ker c}$，並視之為${\displaystyle C}$的元素；由於${\displaystyle g}$是滿射，存在${\displaystyle y\in B}$滿足${\displaystyle g(y)=x}$。由圖的交換性，我們有

${\displaystyle g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0}$（因為${\displaystyle x\in \ker c}$）

於是${\displaystyle b(y)\in \ker g'}$。由於底部的橫列正合，存在${\displaystyle z\in A'}$使得${\displaystyle f'(z)=b(y)}$。置${\displaystyle d(x):=z+\mathrm {im} (a)}$。今須驗證${\displaystyle d}$是明確定義的，即${\displaystyle d(x)}$不依賴${\displaystyle y,z}$之選取；此外尚須驗證它是個同態，及序列的正合性。

一旦完成以上幾點驗證，即證明了此引理在模範疇的情形。對一般情形，可利用核與上核的泛性；此外也能使用Mitchell嵌入定理，此定理斷言任一阿貝爾範疇都能遷入某個環${\displaystyle R}$的${\displaystyle R}$-模範疇。

在應用上，我們常常需要長正合列的「函子性」或曰「自然性」（就自然變換意義言之）；各種建構的函子性也是同調代數的基本哲學。此函子性可由蛇引理的函子性導出。

設交換圖

的橫列均為正合，則可利用蛇引理兩次，一次在「前」一次在「後」，產生兩條長正合序列；它們經由以下交換圖相連繫：

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X