豪斯霍尔德变换

豪斯霍尔德变换（Householder transformation）或譯「豪斯霍德轉換」^[1]，又称初等反射（Elementary reflection），最初由A.C Aitken在1932年提出^[2]。阿尔斯通·斯科特·豪斯霍尔德在1958年指出了这一变换在数值线性代数上的意义^[3]。这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像，是一种线性变换。其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵，在一般内积空间中的类比被称作豪斯霍尔德算子（英语：Householder operator）。超平面的法向量被称作豪斯霍尔德向量。

如果 ${\displaystyle v}$ 给出为单位向量而 ${\displaystyle I}$ 是单位矩阵，则描述上述线性变换的是 豪斯霍尔德矩阵 （${\displaystyle v^{*}}$ 表示向量 ${\displaystyle v}$ 的共轭转置）

${\displaystyle H=I-2vv^{*}.\,}$

豪斯霍尔德矩阵${\displaystyle H}$有如下性质:

• 它是對稱矩陣，即 ${\displaystyle H^{T}=H}$
• 它是正交矩阵，即 ${\displaystyle H^{T}=H^{-1}}$
• 它是埃爾米特矩陣，即 ${\displaystyle H^{*}\ =H}$
• 它是对合的，即 ${\displaystyle H^{2}=I\ }$

进一步的，${\displaystyle H}$ 实际上按上面描述的那样反射了点 ${\displaystyle X}$ (用它的位置向量 ${\displaystyle x}$ 来识别)，因为

${\displaystyle Hx=x-2vv^{*}x=x-2\langle v,x\rangle v,}$

这里的 ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ 表示內積。注意 ${\displaystyle \langle v,x\rangle }$ 等于从 X 到超平面的距离。

豪斯霍尔德变换可以将向量的某些元素置零，同时保持该向量的范数不变。例如，将非零列向量${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{T}}$变换为单位基向量${\displaystyle \mathbf {e} =[1,0,\ldots ,0]^{T}}$乘以一个常数的豪斯霍尔德矩阵为

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {I} -{\frac {2}{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {vv} ^{H}}$

其中豪斯霍尔德向量${\displaystyle \mathbf {v} }$满足：

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} +{\rm {{sgn}(x_{1})\Vert x\Vert _{2}\mathbf {e} _{1}.\,}}}$

Dubrulle 在2000年给出了将豪斯霍尔德变换应用于生成一个一般的稀疏向量的一个数值稳定的算法^[4]。

对一个矩阵的各个列向量逐一进行相应的豪斯霍尔德变换，可以将这个矩阵变换为上海森伯格矩阵、上三角矩阵等形式^[5]。后者就是QR分解的豪斯霍尔德算法。

1. ^ 胡家彰. MIMO通訊系統之低複雜度天線選擇 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. ^ H.W. Turnbull, A.C. Aitken, An Introduction to the Theory of Canonical Matrices, Blackie, London: Glasgrow, 1932
3. ^ Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947
4. ^ A.A. Dubrulle, Householder Transformations Revisited, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001
5. ^ David D. Morrison, Remarks on the Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 7 (2), 1960, 185-186. DOI:10.1145/321021.321030

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