闭形式和恰当形式

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 ${\displaystyle \alpha }$ 是微分算子 ${\displaystyle d}$ 的核（又被称为零空间），即 ${\displaystyle d\alpha =0}$的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) ${\displaystyle \alpha }$ 是微分算子 ${\displaystyle d}$ 的像，即存在某个微分形式 ${\displaystyle \beta }$ 使得 ${\displaystyle \alpha =d\beta }$，${\displaystyle \beta }$ 称为关于 ${\displaystyle \alpha }$ 的一个“本原”。

因为 ${\displaystyle d^{2}=0}$，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 ${\displaystyle d}$ 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。

当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 ${\displaystyle \zeta }$ 与 ${\displaystyle \eta }$ 是闭形式，且存在某个 ${\displaystyle \beta }$ 使得

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,}$

那么 ${\displaystyle \zeta }$ 与 ${\displaystyle \eta }$ 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 与 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 ${\displaystyle dx\wedge dy}$，故只有 1-形式

${\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,}$

具有真正的意义，其外导数 ${\displaystyle d}$ 是

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,}$

这里下标表示偏导数。从而 ${\displaystyle \alpha }$“闭”的条件是

${\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .}$

当 ${\displaystyle h(x,y)}$ 是一个函数时则

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .}$

“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。

在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

庞加莱引理指出，在 一个n-维度域 Rⁿ 中的开球上的每个封闭的p-微分形式对于 p 都是恰当的，这里 1 ≤ p ≤ n 。^[1] 更一般地，引理指出，在流形的可收缩开子集（例如 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$）上，闭 p-形式 p > 0 时是恰当的。^{[需要解释]}

• Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
• 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7 

1. ^ Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Warner 1983. Graduate texts in mathematics. New York: Springer. 1983: 155–156. ISBN 978-0-387-90894-6.