電磁應力-能量張量

物理學中，電磁應力-能量張量是指由電磁場貢獻於應力-能量張量（又稱能量-動量張量）的部份。在自由空間中，以國際單位制之單位可表示成：

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{o}}}[-F^{\alpha \gamma }F_{\gamma }{}^{\beta }-{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }]}$.

若以明顯的矩陣形式，可寫為：

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}(\epsilon _{o}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2})&S_{x}&S_{y}&S_{z}\\S_{x}&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}$,

其中

坡印廷向量 ${\displaystyle {\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{o}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}}}$,

電磁場張量 ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\!}$,

度規張量 ${\displaystyle g_{\alpha \beta }\!}$，以及

馬克士威應力張量 ${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{o}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\epsilon _{o}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}}$.

注意到${\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{o}\mu _{0}}}}$，而c是真空中光速。

若以cgs制單位表示，我們可以很簡單地用${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}$取代${\displaystyle \epsilon _{o}\,}$，以及用${\displaystyle 4\pi \,}$取代${\displaystyle \mu _{o}\,}$:

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}[-F^{\alpha \gamma }F_{\gamma }{}^{\beta }-{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }]}$.

若以明顯的矩陣形式，可寫為：

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}(E^{2}+B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}$

其中，坡印廷向量變成如下形式：

${\displaystyle {\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\times {\vec {H}}}$.

介電材料中的電磁應力-能量張量則較不為人所了解，並且其為未解決的Abraham-Minkowski controversy（英语：Abraham-Minkowski controversy）的主題。 (however see Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007))

能量-動量張量的其中元素（或說分量）${\displaystyle T^{\alpha \beta }\!}$代表了電磁場的四維動量，其第α個分量——${\displaystyle P^{\alpha }\!}$通過一超平面(hyperplane)「x^β = 常數」之通量(flux)。其代表了電磁場這個物理客體所帶有的能量、動量及應力，對於重力場（時空曲率）會有怎樣的重力場源貢獻。這些課題出現在廣義相對論中。

• 應力-能量張量

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