馬爾可夫方程

不定方程${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=3x_{1}x_{2}x_{3}}$稱為馬爾可夫方程（英語：Markov equation或Markoff equation）。

求解方法如下：

• 先憑觀察找出${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,1)}$這組解。
• 方程可視為一個${\displaystyle x_{3}}$為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知${\displaystyle (x_{1},x_{2},3x_{1}x_{2}-x_{3})}$　（留意${\displaystyle 3x_{1}x_{2}-x_{3}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{3}}}}$）也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（英語：Markov number），它們由小到大是：

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）

它們組成的解是：

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫數可以排成一棵二元樹（如圖）。

在二元樹上，和 1 的範圍相鄰的數（即二元樹的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契數。

和 2 的範圍鄰接的數（即二元樹的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特質：它們都是相隔的佩爾數。^[1]

每個數只在樹上出現一次（即沒有正整數${\displaystyle z}$使得${\displaystyle (a,b,z),(c,d,z)}$都是方程的解，其中${\displaystyle a,b,c,d}$是兩兩相異的正整數，且${\displaystyle a>b>z,c>d>z}$）。^[2]

馬爾可夫-赫維茲方程（英語：Markov-Hurwitz equation），是指形式如${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}=ax_{1}x_{2}...x_{n}}$的不定方程，其中${\displaystyle a,n}$是正整數。

阿道夫·赫維茲證明了：方程有${\displaystyle (0,...,0)}$之外的解的必要條件之一是${\displaystyle a\leq n}$。^[3]

1. ^ [PlanetMath: Markov number. [2007-08-17]. （原始内容存档于2008-12-02）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
2. ^ Tom Ace，Markoff numbers (minortriad.com) （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
3. ^ Springer Online Reference Works: Hurwitz equation （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）

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