魏尔施特拉斯判别法

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
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查 论 编

魏尔施特拉斯判别法是一个类似于比较审敛法的判别法，可以用于判断函数项级数的收敛性。

假设${\displaystyle \{f_{n}\}}$是定义在集合${\displaystyle A}$内的一个实数或复数函数的数列，并存在正的常数${\displaystyle M_{n}}$，使得

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

对于所有的${\displaystyle n}$≥${\displaystyle 1}$和${\displaystyle A}$内所有的${\displaystyle x}$。进一步假设级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$

收敛。那么级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

在${\displaystyle A}$内一致收敛（常规意义下，以一致收敛的柯西逼近形式證明）。

如果函数${\displaystyle \{f_{n}\}}$的陪域是任何一个巴拿赫空间，则魏尔施特拉斯判别法的一个更一般的形式仍然成立，但要把

${\displaystyle |f_{n}|\leq M_{n}}$

换成

${\displaystyle ||f_{n}||\leq M_{n}}$,

其中${\displaystyle ||\cdot ||}$是巴拿赫空间的范数。 范数的选取方法与结果一般无关。

• Rudin, Walter. Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. January 1991. ISBN 0-07-054236-8. 
• Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. May 1986. ISBN 0-07-054234-1. 
• Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.