Гіпотэза Пуанкарэ

Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі. Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.

Паток Рычы  (руск.) (бел. — гэта пэўнае ўраўненне ў частковых вытворных  (руск.) (бел., падобнае на ўраўненне цеплаправоднасці  (руск.) (бел.. Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць. Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку. Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць «хірургію»  (руск.) (бел. — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць дыфеаморфную  (руск.) (бел. прамому здабытку ${\displaystyle (0,1)\times S^{2}}$), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што метрыка  (руск.) (бел. атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй». Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» дыфеаморфны  (руск.) (бел. сферычнай прасторавай форме  (руск.) (бел..

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці ${\displaystyle M}$ і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй. Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё. Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць ${\displaystyle M}$ можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$, злучаных адна з адною трубкамі ${\displaystyle [0,1]\times S^{2}}$. Падлік фундаментальнае групы  (руск.) (бел. паказвае, што ${\displaystyle M}$ дыфеаморфная звязнай суме  (руск.) (бел. набору прасторавых форм ${\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}$, і больш таго, усе ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ трывіяльныя. Такім чынам, ${\displaystyle M}$ з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы. У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца сфераю Пуанкарэ  (руск.) (бел., і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы. Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Столінгсам  (англ.) (бел. (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 Зееманам  (англ.) (бел.). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам. Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў^[1]. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Хамільтанам  (руск.) (бел., які таксама першым прымяніў паток Рычы.

• Фрыдман (у 1986 годзе) і Перэльман (у 2006 годзе) сталі Філдсаўскімі лаўрэатамі.
• У 2006 годзе часопіс Science назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» («Breakthrough of the Year»  (англ.) (бел.)^[2]. Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званне^[3].
• У 2006 годзе Сільвія Назар  (руск.) (бел. апублікавала нашумелы^[4] артыкул «Manifold Destiny»  (руск.) (бел., які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ^[5].
• 18 сакавіка 2010 года Матэматычны інстытут Клэя  (руск.) (бел. прысудзіў Прэмію тысячагоддзя за доказ гіпотэзы Пуанкарэ Р. Я. Перэльману^[6], але той адмовіўся яе браць.

• Адкрытыя матэматычныя праблемы  (руск.) (бел.
• Задачы тысячагоддзя  (руск.) (бел.

• Perelman, Grisha (November 11, 2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arXiv:math.DG/0211159. {{cite arXiv}}: |class= ігнараваны (даведка)
• Perelman, Grisha (March 10, 2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arXiv:math.DG/0303109. {{cite arXiv}}: |class= ігнараваны (даведка)
• Perelman, Grisha (July 17, 2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arXiv:math.DG/0307245. {{cite arXiv}}: |class= ігнараваны (даведка)
• J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
• С. Николенко Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1-2.
• John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.)
• B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers (англ.)
• Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)