Гіпотэза Рымана

Гіпо́тэза Ры́мана - здагадка аб размеркаванні нулёў дзэта-функцыі Рымана. Яна сцвярджае, што ўсе нетрывіяльныя нулі Рыманавай дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку 12. Гіпотэза была сфармулявана Бернхардам Рыманам у 1859 годзе.

Пакуль невядома якой-небудзь заканамернасці, якая апісвала б размеркаванне простых лікаў сярод натуральных. Рыман выявіў, што колькасць простых лікаў, не большых за x, — функцыя размеркавання простых лікаў, якая абазначаецца праз π(x), — выражаецца праз размеркаванне так званых «нетрывіяльных нулёў» дзэта-функцыі.

Многія сцвярджэнні аб размеркаванні простых лікаў, у тым ліку аб вылічальнай складанасці некаторых цэлалікавых алгарытмаў, даказаныя пры дапушчэнні справядлівасці гіпотэзы Рымана.

Гіпотэза Рымана ўваходзіць у спіс сямі «праблем тысячагоддзя»  (руск.) (бел., за рашэнне кожнай з якіх Матэматычны інстытут Клэя  (руск.) (бел. (Clay Mathematics Institute, Кембрыдж, Масачусетс) выплаціць узнагароду ў адзін мільён долараў ЗША. У выпадку апублікавання контрпрыкладу да гіпотэзы Рымана, вучоны савет інстытута Клэя мае права вырашыць, ці можна лічыць гэты контрпрыклад канчатковым рашэннем праблемы, ці праблему можна перафармуляваць у вузейшай форме і пакінуць адкрытай (у апошнім выпадку аўтару контрпрыкладу можа быць выплачана невялікая частка ўзнагароды)^[1][2].

Дзэта-функцыя Рымана ${\displaystyle \zeta (s)}$ вызначана для ўсіх камплексных ${\displaystyle s\neq 1}$ і мае нулі ў адмоўных цотных ${\displaystyle s=-2,-4,-6\dots }$.

З функцыянальнага ўраўнення

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s}\sin {\pi s \over 2}{\frac {1}{\sin \pi s\Gamma (s)}}\zeta (1-s)}$

і яўнага выразу

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$    пры ${\displaystyle \operatorname {Re} s>1,}$

дзе ${\displaystyle \mu (n)}$ — функцыя Мёбіуса, вынікае, што ўсе астатнія нулі, якія называюцца «нетрывіяльнымі», размяшчаюцца ў паласе ${\displaystyle 0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1}$ сіметрычна адносна так званай «крытычнай лініі» ${\displaystyle {1 \over 2}+it,\;t\in \mathbb {R} }$.

Гіпотэза Рымана сцвярджае, што:

Усе нетрывіяльныя нулі дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку, роўную 12.

Абагульненая гіпотэза Рымана складаецца з таго ж самага сцвярджэння для абагульненняў дзэта-функцыі, якія называюцца L-функцыямі Дзірыхле  (руск.) (бел..

У 1901 годзе Хельге фон Кох  (англ.) (бел. паказаў, што гіпотэза Рымана раўназначная наступнаму сцвярджэнню аб размеркаванні простых лікаў:

${\displaystyle \pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow \infty .}$

Ёсць яшчэ некалькі раўназначных фармулёвак:

• Для ўсіх ${\displaystyle x\geqslant 2657}$ выконваецца няроўнасць

  ${\displaystyle \left|\pi (x)-\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln x,}$

• Для ўсіх ${\displaystyle x\geqslant 73.2}$ справядліва няроўнасць

  ${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}(x),}$

• Для ўсіх ${\displaystyle n>5040}$ верная няроўнасць

  ${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n,}$

дзе σ(n) — функцыя дзельнікаў ліку n, а γ — пастаянная Эйлера — Маскероні^[3].

• Для ўсіх ${\displaystyle n>1}$ спраўджваецца няроўнасць

  ${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\ln H_{n},}$

дзе H_n — n-ы гарманічны лік  (руск.) (бел.^[4].

• Для любога дадатнага ${\displaystyle \varepsilon }$ выконваецца няроўнасць

  ${\displaystyle M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon }),}$

дзе M(n) — функцыя Мертэнса  (руск.) (бел., гл. таксама абазначэнне O вялікае. Мацнейшая гіпотэза ${\displaystyle |M(n)|<{\sqrt {n}}\,}$ была абвергнута ў 1985 годзе^[5].

• Гіпотэза Рымана раўназначная наступнай роўнасці:

  ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(1-12t^{2})}{(1+4t^{2})^{3}}}\int \limits _{1/2}^{\infty }\log |\zeta (\sigma +it)|\,d\sigma \,dt={\frac {\pi (3-\gamma )}{32}}}$.

• Калі гіпотэза Рымана несправядлівая, то існуе алгарытм, які рана ці позна выявіць яе парушэнне. Адсюль вынікае, што калі адмаўленне гіпотэзы Рымана недаказальнае ў арыфметыцы Пеана, то гіпотэза Рымана верная.
• Гіпотэза Рымана таксама раўназначная сцвярджэнню, што наступнае дыяфантава ўраўненне  (руск.) (бел. не мае рашэнняў у неадмоўных цэлых ліках:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(elg^{2}+\alpha -(b-xy)q^{2})^{2}+(q-b^{5^{60}})^{2}+(\lambda +q^{4}-1-\lambda b^{5})^{2}+\\&(\theta +2z-b^{5})^{2}+(u+t\theta -l)^{2}+(y+m\theta -e)^{2}+(n-q^{16})^{2}+\\&((g+eq^{3}+lq^{5}+(2(e-z\lambda )(1+xb^{5}+g)^{4}+\lambda b^{5}+\lambda b^{5}q^{4})q^{4})(n^{2}-n)+\\&(q^{3}-bl+l+\theta \lambda q^{3}+(b^{5}-2)q^{5})(n^{2}-1)-r)^{2}+\\&(p-2ws^{2}r^{2}n^{2})^{2}+(p^{2}k^{2}-k^{2}+1-\tau ^{2})^{2}+\\&(4(c-ksn^{2})^{2}+\eta -k^{2})^{2}+(r+1+hp-h-k)^{2}+\\&(a-(wn^{2}+1)rsn^{2})^{2}+(2r+1+\phi -c)^{2}+\\&(bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma -d)^{2}+\\&((a^{2}-1)c^{2}+1-d^{2})^{2}+((a^{2}-1)i^{2}c^{4}+1-f^{2})^{2}+\\&(((a+f^{2}(d^{2}-a))^{2}-1)(2r+1+jc)^{2}+1-(d+of)^{2})^{2}+\\&(((z+u+y)^{2}+u)^{2}+y-K)^{2}=0\end{aligned}}}$

дзе K — некаторы вялікі фіксаваны цэлалікавы каэфіцыент (які, у прынцыпе, можна запісаць у яўным выглядзе), а астатнія літары абазначаюць зменныя. Ступень гэтага ўраўнення можна панізіць да чатырох цаною павелічэння колькасці зменных^{[6][7][8][9][10]}.

У 1896 годзе Адамар і Вале-Пусен  (руск.) (бел. незалежна даказалі, што нулі дзэта-функцыі не могуць ляжаць на прамых ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s=0}$ і ${\displaystyle \operatorname {Re} \,s=1}$.

У 1900 годзе Давід Гільберт уключыў гіпотэзу Рымана ў спіс 23 нерэшаных праблем як частку восьмай праблемы, сумесна з гіпотэзаю Гольдбаха  (руск.) (бел..

У 1914 годзе Хардзі  (руск.) (бел. даказаў, што на крытычнай лініі знаходзіцца бесканечна многа нулёў, а пазней сумесна з Літлвудам  (руск.) (бел. даў ніжнюю ацэнку долі тых нулёў, што ляжаць на крытычнай лініі. Гэтую ацэнку потым паляпшалі розныя матэматыкі. Таксама ў 1914 годзе Я. П. Громер знайшоў неабходныя і дастатковыя ўмовы справядлівасці гіпотэзы Рымана ў аналітычнай тэорыі лікаў (няроўнасці Громера)^[11].

Некаторыя нетрывіяльныя нулі размяшчаюцца экстрэмальна блізка адзін да аднаго. Гэтая ўласцівасць вядома як «з'ява Лемера»^[12].

Цітчмарш і Ворас у 1987 годзе паказалі, што дзэта-функцыя можа быць раскладзена ў здабытак праз свае нетрывіяльныя нулі ў раскладанне Адамара.

На 2004 год праверана больш чым 10^{13 першых нулёў[13].}

Група матэматыкаў Універсітэта Пердзью (ЗША) пад кіраўніцтвам Луі дэ Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) прапанавала доказ гіпотэзы Рымана^[14], які, аднак, аказаўся няправільным^[1].

У аглядных працах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) адзначаецца, што даныя на карысць справядлівасці гіпотэзы Рымана моцныя, але пакідаюць месца для абгрунтаваных сумненняў. Асобныя аўтары, аднак, упэўненыя ў няправільнасці гіпотэзы (напрыклад, так лічыў Джон Літлвуд).

Сярод вынікаў, якія дазваляюць дапускаць праўдзівасць гіпотэзы, можна выдзяліць паспяховы доказ падобных гіпотэз (у тым ліку, гіпотэзы Рымана аб мнагастайнасцях над канечнымі палямі^[15]). Гэта найбольш моцны тэарэтычны довад, які дазваляе меркаваць, што ўмова Рымана выконваецца для ўсіх дзэта-функцый  (англ.) (бел., звязаных з аўтаморфнымі адлюстраваннямі  (англ.) (бел., што ўключае класічную гіпотэзу Рымана. Ісціннасць аналагічнай гіпотэзы ўжо даказана^[16] для дзэта-функцыі Сельберга  (англ.) (бел., у нечым падобнай на функцыю Рымана, і для дзэта-функцыі Госа  (англ.) (бел. (аналаг дзэта-функцыі Рымана для функцыянальных палёў).

З другога боку, некаторыя з дзэта-функцый Эпштэйна не задавальняюць умову Рымана, хоць і маюць бесканечны лік нулёў на крытычнай лініі. Аднак гэтыя функцыі не выражаюцца праз рады Эйлера і не звязаныя напрамую з аўтаморфнымі адлюстраваннямі.

Да «практычных» довадаў на карысць справядлівасці Рыманавай гіпотэзы адносіцца вылічальная праверка вялікай колькасці нетрывіяльных нулёў дзэта-функцыі ў рамках праекта ZetaGrid.

У 1914 годзе Годфры Харальд Хардзі даказаў^[17], што функцыя ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ мае бесканечна многа рэчаісных нулёў.

Няхай ${\displaystyle N(T)}$ ёсць колькасць рэчаісных нулёў, а ${\displaystyle N_{0}(T)}$ колькасць нулёў няцотнага парадку функцыі ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$, якія ляжаць на прамежку ${\displaystyle (0,T]}$.

Дзве гіпотэзы Хардзі і Літлвуда^[18] (аб адлегласці паміж рэчаіснымі нулямі ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ і аб шчыльнасці нулёў ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ на прамежках ${\displaystyle (T,T+H]}$ пры досыць вялікім ${\displaystyle T>0}$, ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ і як можна меншым значэнні ${\displaystyle a>0}$, дзе ${\displaystyle \varepsilon >0}$ адвольна малы лік), вызначылі два напрамкі ў даследаванні дзэта-функцыі Рымана:

1. Для любога ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існуе ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$, такое што пры ${\displaystyle T\geqslant T_{0}}$ і ${\displaystyle H=T^{0{,}25+\varepsilon }}$ прамежак ${\displaystyle (T,T+H]}$ утрымлівае нуль няцотнага парадку функцыі ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$.
2. Для любога ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існуюць такія ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ і ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$, што пры ${\displaystyle T\geqslant T_{0}}$ і ${\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }}$ справядліва няроўнасць ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH}$.

У 1942 годзе Атле Сельберг даследаваў праблему Хардзі — Літлвуда 2 і даказаў, што для любога ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існуюць ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ і ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$, такія што для ${\displaystyle T\geqslant T_{0}}$ і ${\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }}$ справядліва няроўнасць ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T}$.

У сваю чаргу, Атле Сельберг выказаў гіпотэзу^[19], што можна паменшыць паказчык ступені ${\displaystyle a=0{,}5}$ для велічыні ${\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }}$.

У 1984 годзе А. А. Карацуба  (руск.) (бел. даказаў^[20][21][22], што пры фіксаваным ${\displaystyle \varepsilon }$ з умоваю ${\displaystyle 0<\varepsilon <0{,}001}$, даволі вялікім ${\displaystyle T}$ і ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$, ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ прамежак ${\displaystyle (T,T+H)}$ утрымлівае не менш за ${\displaystyle cH\ln T}$ рэчаісных нулёў дзэта-функцыі Рымана ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$. Тым самым ён пацвердзіў гіпотэзу Сельберга.

Ацэнкі А. Сельберга і А. А. Карацубы з’яўляюцца непаляпшальнымі па парадку росту пры ${\displaystyle T\to +\infty }$.

У 1992 годзе А. А. Карацуба даказаў^[23], што аналаг гіпотэзы Сельберга справядлівы для «амаль усіх» прамежкаў ${\displaystyle (T,T+H]}$, ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$, дзе ${\displaystyle \varepsilon }$ — адвольна малы фіксаваны дадатны лік. Метад, распрацаваны Карацубам, дазваляе даследаваць нулі дзэта-функцыі Рымана на «звышкароткіх» прамежках крытычнай прамой, г.зн. на прамежках ${\displaystyle (T,T+H]}$, даўжыня ${\displaystyle H}$ якіх расце павольней за любую, нават адвольна малую, ступень ${\displaystyle T}$. Сярод іншага, ён даказаў, што для любых зададзеных лікаў ${\displaystyle \varepsilon }$, ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ з умоваю ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ амаль усе прамежкі ${\displaystyle (T,T+H]}$ пры ${\displaystyle H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$ утрымліваюць не менш чым ${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ нулёў функцыі ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$. Гэтая ацэнка вельмі блізкая да тае, што вынікае з гіпотэзы Рымана.

• Вядомы адказ Гільберта на пытанне, якія будуць яго дзеянні, калі ён па нейкай прычыне праспіць пяцьсот гадоў і раптам прачнецца. Матэматык адказаў, што перш за ўсё спытае, ці была даказана гіпотэза Рымана.
• Гіпотэза Рымана адносіцца да знакамітых адкрытых праблем матэматыкі  (руск.) (бел., у лік якіх у свой час уваходзіла і тэарэма Ферма. Як вядома, Ферма зрабіў запіс аб тым, што даказаў сваю тэарэму, не пакінуўшы самога доказу, і тым самым кінуў выклік наступным пакаленням матэматыкаў. Брытанскі матэматык Г. Х. Хардзі скарыстаў сітуацыю з гэтымі праблемамі для забеспячэння ўласнай бяспекі ў час марскіх падарожжаў. Кожны раз перад адпраўкаю ў падарожжа ён адпраўляў аднаму са сваіх калег тэлеграму: ДАКАЗАЎ ГІПОТЭЗУ РЫМАНА КРПК ПАДРАБЯЗНАСЦІ ПА ВЯРТАННІ КРПК. Хардзі лічыў, што бог не дапусціць паўтарэння сітуацыі з тэарэмаю Ферма і дазволіць яму шчасліва вярнуцца з плавання^[24].

• Адкрытыя матэматычныя праблемы

• Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
• Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — В. 35.
• Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis - official problem description (PDF), Clay Mathematics Institute, Праверана 2008-10-25
• Conrey, Brian (2003), "The Riemann Hypothesis" (PDF), Notices of the American Mathematical Society: 341–353
• Sarnak, Peter (2008), "Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis", in Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (рэд-ры), The Riemann Hypothesis (PDF), CMS Books in Mathematics, New York: Springer, pp. 107–115, ISBN 978-0387721255, Архівавана з арыгінала (PDF) 15 лістапада 2012, Праверана 10 чэрвеня 2014

• Len Goodman and Eric W. Weisstein.. Riemann Hypothesis (нявызн.). MathWorld.